三、解答题1.
2. 设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足
,又g(x,y)=
,求
.
先求dg,从而求得
.
由一阶全微分形式不变性,得
于是
再由复合函数求导法求得
因此
3. 设z=z(x,y)是由方程
4. 已知线性方程组
(1) a、b为何值时,方程组有解?
(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系;
(3) 方程组有解时,求出方程组的全部解.
考虑方程组的增广矩阵
因此,当b-3a=0且2-2a=0即a=1,且b=3时,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等,故a=1,b=3时.方程组有解.
(2) 当a=1,b=3,有
因此,原方程组的同解方程组为
得导出组的基础解系为
(3) 令x
3=x
4=x
5=0,得原方程组的特解
于是原方程组的全部解为
,其中c
1、c
2、c
3为任意常数.
[评注] 本题考查带未知参数的非齐次线性方程组解的判定和通解结构.
[考点提示] 化增广矩阵为阶梯形.然后对参数进行讨论.
5. 已知矩阵
有三个线性无关的特征向量,求a的值,并求A
n。
由矩阵A的特征多项式
知矩阵A的特征值是1,1,2。
因为A有3个线性无关的特征向量,所以秩 r(E-A)=1,又
故 a=1,
由(E-A)x=0,即
得基础解系 α
1=(1,0,1)
T,α
2=(0,1,0)
T。
由 (2E-A)x=0,即
得基础解系 α
3=(2,-1,3)
T。
那么令P=(α
1,α
2,α
3),有
从而A=PAP
-1。
于是 A
n=PA
nP
-1
6. 设α,β为三维单位列向量,并且α
Tβ=0,若设A=αα
T+ββ
T,则必有非零列向量x,使得Ax=0,并且A与
相似.
考虑线性方程组
其系数矩阵秩为2,故必有非零解x,使α
Tx=0,β
Tx=0.这样可使Ax=(αα
T+ββ
T)x=0.
事实上,Aα=α,Aβ=β,Ax=0·X,故λ=1,1,0是A的特征值.相应有线性无关的特征向量α,β,x从而有可逆矩阵P=[α,β,x]使p-
1AP=A,其中
7. 已知齐次线性方程组
(Ⅰ)
和(Ⅱ)
同解,求α,β,γ的值。
由于方程组(Ⅱ)中“方程个数(为2)<未知数个数(为3)”,所以(Ⅱ)必有非零解,而(Ⅰ)与(Ⅱ)同解,即(Ⅰ)也有非零解,从而(Ⅰ)的系数行列式为0,有
对(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换,有
得(Ⅰ)的通解为X=k(1,1,-1)
T 由于X=(1,1,-1)
T也是(Ⅱ)的解,故有
由于r(Ⅱ)=1<2=r(Ⅰ),所以(Ⅰ),(Ⅱ)不同解,舍之从而α=2,β=1,γ=2时,方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解。
[考点] 两个齐次线性方程组同解,求其中参数
设n阶实对称矩阵A满足A2=E,且秩r(A+E)=k<n。8. 求二次型x
TAx的规范形;
设λ为矩阵A的特征值,对应的特征向量为α,即Aα=λα,α≠0,则A
2α=λ
2α由于A
2=E,从而(λ
2-1)α=0,又因α≠0,故有λ
2-1=0,解得λ=1或λ=-1。
因为A是实对称矩阵,所以必可对角化,且秩r(A+E)=k,于是
那么矩阵A的特征值为:1(k个),-1(n-k个)。
故二次型
9. 证明B=E+A+A
2+A
3+A
4是正定矩阵,并求行列式|B|的值。
因为A2=E,故
B=E+A+A2+A3+A4=3E+2A
所以矩阵B的特征值是:5(k个),1(n-k个),由于口的特征值全大于0且B是对称矩阵,因此B是正定矩阵,且|B|=5k·1n-k~=5k。
10.