二、选择题2. 设
则在它们各自的定义域上
.
- A.f(x)有界,g(x)有界
- B.f(x)有界,g(x)无界
- C.f(x)无界,g(x)有界
- D.f(x)无界,g(x)无界
A B C D
B
本题考查函数的有界性的判别,这一直是研究生考试的重要知识点.其主要依据是:
①设
存在,则在“x→·”时,f(x)有界.其中x→·是指x→x
0,
,x→∞,x→-∞,x→+∞等六种情形,值得指出的是:极限存在只是函数有界的充分条件,并非必要条件.
②设f(x)在[a,b]上连续(事实上可以放宽至“常义可积”),则f(x)在[a,b]上有界.
③有界函数与有界函数的和、差、积仍为有界函数.
具体说来,
(a)对于f(x)
同理
,故在
内,f(x)有界;
又
有界,且sinx有界,同理,
有界,且sinx有界,故f(x)在(-∞,-X)∪(X,+∞)内有界;
同时,由于f(x)在[-X,-δ]和[δ,X]上连续,则有界.
综上所述,f(x)在其定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上有界.
(b)对于g(x)
取
,则
对任意正数M,当k充分大时,有g(x
0)>M,所以g(x)无界.
4. 设f(x)与g(x)在(-∞,+∞)上都有定义,且x=x
1是f(x)的唯一间断点,x=x
2是g(x)的唯一问断点.则
.
- A.当x1=x2时,f(x)+g(x)必有唯一的间断点x=x1.
- B.当x1≠x2时,f(x)+g(x)必有两个间断点x1与x2.
- C.当x1=x2时f(x)g(x)必有唯一的间断点x=x1.
- D.当x1≠x2时f(x)g(x)必有两个间断点x1与x2.
A B C D
B
命ω(x)=f(x)+g(x).设ω(x)在x=x
1处连续,由f(x)=ω(x)-g(x)及题设g(x)仅在x=2处间断,其他处均连续,推知f(x)在x=x
1处亦连续,与题干所设矛盾.故ω(x)在x=x
1处间断,同理可推知ω(x)在x=x
2处亦间断.所以(B)正确.
注 可以举出例子说明(A),(C),(D)不正确.
6. 设f(x,y)连续,且
,其中D是由y=0,y=x
2,x=1所围区域,则f(x,y)等于
(A) xy. (B) 2xy.
(C)
.(D) xy+1.
A B C D
C
[分析] 求f(x,y)归结为求常数
,由假设条件f(x,y)=xy+A,为求A,将此等式两端函数在D上积分得
其中区域D如右图.于是
应选(C).
8. 设每次试验成功的概率为p(0<p<1),现进行独立重复试验,则直到第10次试验才取得第4次成功的概率为
.
(A)
(B)
(C)
(D)
A B C D
C
本题考查伯努利概型,是一道基础题.
根据题设条件,前9次取得了3次成功,第10次才取得第4次成功的概率为
所以选择(C).
一、填空题1.
2.
3. 设函数f(x)在[1,+∞)上连续,并使反常积分
收敛,若f(x)还满足
则f(x)=______.
[分析] 令
,则有方程组
将①式代入②式可禧
由此可得
,故
.
4.
5.
6.
三、解答题1.
显然D关于x轴对称,且D=D
1∪D
2,其中
[分析] 被积函数展开,利用二重积分的对称性.
[评注] 二重积分的对称性的考查一直是重要测试内容.
2. 设f(x)在[a,b]上连续,求证:
记
以下分f(x)在区间(a,b)内是否变号两种情形来证明所需的结论。
首先,若f(x)在(a,b)内不变号,则必有
其次,若f(x)在(a,b)内变号,则必存在x
0∈(a,b)使f(x
0)=0,由f(x)在[a,b]上连续可得|f(x)|也在[a,b]上连续,由闭区间连续函数的性质知,存在x
1∈[a,b],使得
于是
综合即知要证的结论总是成立的。
3.
4. 当常数a取何值时,方程组
无解、有无穷多个解?在有无穷多个解时,求出其通解.
5.
设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),σ>0,F(x)是X的分布函数,随机变量Y=F(X),试求:6. Y的概率密度;
记X的概率密度为f(x),则
由于F(x)是x的严格单调增函数,其反函数F
-1(x)存在,又因0≤F(x)≤1,因此Y的取值范围是[0,1]。
当0≤y≤1时,
于是Y的分布函数G(y)为
此即区间[0,1]上均匀分布的分布函数,故Y的概率密度g(y)为
7. E(X+Y);
EX=μ,
8. E(X
2+Y
2)
EX
2=DX+(EX)
2=σ
2+μ
2,
9. 设X
1,X
2,…,X
n(n>2)相互独立且都服从N(0,1),Y
i=X
i-
(i=1,2,…,n).求
(Ⅰ)D(Y
i)(i=1,2,…,n);
(Ⅱ)Cov(Y
1,Y
n);
(Ⅲ)P{Y
1+Y
n≤0).
因为X
1,X
2,…,X
n独立且都服从正态分布,所以Y
1+Y
n服从正态分布,
.
设总体x的分布函数为
(X1,X2,…,X10)为来自总体x的简单随机样本,其观察值为1,1,3,1,0,0,3,1,0,1。10. 求总体X的分布律;
总体X的分布律为
11. 求参数θ的矩估计值;
E(X)=1×2θ+3×(1-30)=3-70
令
12. 求参数θ的极大似然估计值.
似然函数为
L(θ)=θ
3(2θ)
5(1-3θ)
2 lnL(θ)=3lnθ+5ln2θ+2ln(1-3θ)
得参数0的极大似然估计值为
有甲、乙、丙三个口袋,其中甲袋装有1个红球,2个白球,3个黑球;乙袋装有2个红球,1个白球,2个黑球;丙袋装有2个红球,3个白球,现任取一袋,从中任取2个球,用X表示取到的红球数,Y表示取到的白球数,Z表示取到的黑球数。13. 求(X,Y)的联合分布;
用全概率公式求(X,Y),(Y,Z)的联合分布,即有
从而(X,Y)与(Y,Z)的联合分布与边缘分布可列成下表:
14. 求cov(X,Y)+cov(Y,Z)。
[解法一]
于是 cov(X,Y)+cov(Y,Z)=(EXY-EXEY)+(EYZ-EYEZ)
[解法二] (1) 求(X,Y)的联合分布同[解法一],但不要求(Y,Z)的联合分布,
(2) 由于Z=2-X-Y,故
cov(X,Y)+cov(Y,Z)=cov(X,Y)+cov(Y,2-X-Y)
=cov(X,Y)-cov(X,Y)-cov(Y,Y)=-DY。
又
故