本题考查二元函数的极值问题,属于基本题.
对于函数f(x,y)=x
4+y
4-2x
2-2y
2+4xy在(0,0)点的邻域,考察两条特殊的路径:取路径y=x,则f(x,y)=f(x,x)=2x
4,显然(0,0)点是这条路径上的极小值点,取路径y=-x,则f(x,y)=f(x,-x)=2x
4-8x
2,于是f'=8x
3-16x,f"=24x
2-16,将x=0代入,f'=0,f"<0,故(0,0)点是这条路径上的极大值点;由此可得,(0,0)点不是f(x,y)的极小值点.
对于函数
,通过恒等变形,得
在(0,0)点的邻域,考察两条特殊的路径:x=0和y=2x
2,则
可以得出(0,0)点是x=0这条路径上的极小值,是y=2x
2这条路径上的极大值,由此可得,(0,0)点也不是g(x,y)的极小值点.