二、选择题1.
的零点个数为
.
A B C D
A
本题考查一元微分学的应用和泰勒级数的使用,属于基础题.
显然,当x≤0时,
;而当x>0时,
,故
的零点个数为0,答案选择(A).
3. 设A,B均为n阶方阵,且B可逆,则
- A.(-3)n|A||B|-1.
- B.-3|AT||B|.
- C.-3|A||B-1|.
- D.(-3)2n|A||B|-1.
A B C D
D
=(-3)
n|A
T|·(-3)
n|B|
-1=(-3)
2n|A||B|
-1,故(D)入选.
6. 设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则
(A)
. (B)
.
(C)
. (D)
.
A B C D
B
[分析] 由于X与Y相互独立且都服从正态分布,所以X+Y~N(1,2),X-Y~N(-1,2).由此即知
,选择(B).
这是因为
,
三、解答题1.
2.
3. 设生产某种产品必须投入两种要素,x
1和x
2分别为两要素的投入量,Q为产出量;若生产函数为
,其中α,β为正常数,且α+β=1.假设两种要素的价格分别为p
1和p
2,试问:当产出量为12时,两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?
由题设知,本题要求的是总费用p
1x
1+p
2x
2在条件
下的最小值,由此应采用拉格朗日乘数法,即令
则由
可求出
,此为唯一驻点,并且由题设知存在最小值,所以当
时投入总费用最小.
[考点提示] 二元函数的条件极值.
4.
5.
已知二次型的秩为2.6. 求a的值;
由于二次型f的秩为2,即二次型矩阵
的秩为2,
所以
,得a=0.
7. 求正交变换x=Qy把f(x
1,x
2,x
3)化为标准形;
当a=0时,
得到矩阵A的特征值是λ
1=λ
2=2,λ
3=0.
对于λ=2,由(2E-A)x=0
得特征向量α
1=(1,1,0)
T,α
2=(0,0,1)
T 对λ=0由(0E-A)X=0
得特征向量α
3=(1,-1,0)
T 由于α
1,α
2,α
3已两两正交,单位化有
令Q=(γ
1,γ
2,γ
3)则Q是正交矩阵.那么经正交变换x=Qy,有f(x
1,x
2,x
3)=
8. 求方程f(x
1,x
2,x
3)=0的解.
方程
即
所以方程的通解是k(1,-1,0)
T,k为任意常数.
已知随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),且X与Y的相关系数,求:10. X与Z的相关系数ρ
XZ.
故
11.
12.