一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
1. 设f(x)在(-∞,+∞)上有定义,在(-∞,0)∪(0,+∞)内可导,x=0为f(x)的可去间断点,则下列结论正确的是
(A) x=0为f'(x)的可去间断点 (B) x=0为f'(x)的跳跃间断点
(C) x=0为
的可去间断点 (D) x=0为
的连续点
A B C D
D
[解析] 因f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)内可导,从而f(x)分别在(-∞,0)与(0,+∞)上连续,又因x=0是f(x)的可去间断点,从而补充定义
,补充定义后的函数
就在区间(-∞,+∞)上连续,于是
在(-∞,+∞)内可导,特别在x=0处连续,由于改变函数在个别点的函数值不影响函数的可积性与定积分的值(这是定积分的性质之一),所以
也在x=0处连续,即应选(D)。
[分析二] 用排除法。
对于(A):取
则
从而可知x=0为f'(x)的跳跃间断点,故(A)不对。
对于(B):取
则对任何x≠0都有f'(x)=0,从而可知x=0为f'(x)的可去间断点,故(B)不对。
对于(C):同样取
则不仅有
而且对任何x≠0都有
可见x=0不是
的可去间断点,故(C)也不对。由排除法可知,应选(D)。
2. 设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,且分别在(-∞,0)与(0,+∞)上二次可导,其导函数f'(x)的图像如图所示,则f(x)在(-∞,+∞)上有
- A.一个极大值点与两个拐点
- B.一个极小值点与两个拐点
- C.一个极大值点,一个极小值点与两个拐点
- D.一个极大值点,一个极小值点与三个拐点
A B C D
D
[解析] 设a,b,c,d各点如图所示,由题设可得下表。
x |
<a |
a |
(a,b) |
b |
(b,c) |
c |
(c,0) |
0 |
(0,d) |
d |
>d |
f'(x) |
- |
- |
- |
- |
- |
0 |
+ |
* |
+ |
0 |
- |
f"(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
+ |
+ |
* |
- |
- |
- |
f(x) |
↓凹 |
拐点 |
↓凸 |
拐点 |
↓凹 |
极小值 |
↑凹 |
拐点 |
↑凸 |
极大值 |
↓凸 |
(注意,表中对应于x=x
0处标有“拐点”是指对应的点(x
0,f(x
0))为曲线y=f(x)的一个拐点。)
这表明函数f(x)在(-∞,+∞)上有一个极大值,一个极小值,与三个拐点,故应选(D)。
3. 设z(x,y)是方程
满足条件z(x,x
2)=1的解,则
A B C D
D
[解析] 注意
利用=(x,x
2)=1即得x
2·x
2+(x
2)
2+C(x)=1,故C(x)=1-2x
4,代入就有z(x,y)=x
2y+y
2+1-2x
4,代入求积分可得
故应选(D)。
4. 设f(x)在[-δ,δ]有定义,且f(0)=f'(0)=0,f"(0)=a>0,又
收敛,则p的取值范围是
A B C D
B
[解析] 由
与
有相同的敛散性
收敛即
收敛
p的取值范围是
选(B)。
7. 一台仪器由5只不太可靠的元件组成,已知各元件出故障是独立的,且第k个元件出故障的概率为
,k=1,2,3,4,5,则出故障的元件数X的方差是
A B C D
C
[解析] 记X
k表示第k只元件出故障,X
k~B(1,p
k),则出故障元件数
X=X
1+X
2+X
3+X
4+X
5 由于X
1,X
2,X
3,X
4,X
5相互独立,且
故
所以应选(C)。
8. 设F(x)是随机变量X的分布函数,则下述4个结论
①若F(a)=0,则对任意x≤a,有F(x)=0;
②若F(a)=1,则对任意x≥a,有F(x)=1;
③若F(a)=
,则P{X<a}=
④若F(a)=
,则P{X≥a}=
中正确的是
A B C D
A
[解析] 由分布函数的单调不减性且0≤F(x)≤1,F(x)=P{X≤x},可知①,②都是正确的,对于③,④,当X为离散型随机变量时可能不成立,这可以用例子来加以说明:若X的概率分布为
取a=0,则F(a)=F(0)=P{X≤0}=
但是
所以应选(A)。
二、填空题1.
[解析]
利用当x→0时的等价无穷小关系:tanx~x,ln(1+x)~x与洛必达法则可得
故所求极限为
2. 曲线
当x→+8时的斜渐近线方程是______。
y=πx-2
[解析] 由于
故所求的斜渐近线方程是y=πx-2
3. 设二元函数f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足
又g(x,y)=f(x
2-y
2,2xy),则
0
[解析] 直接计算可得
dg=f'ud(x2-y2)+f'vd(2xy)=f'u·(2xdx-2ydy)+f'v·(2ydx+2xdy)
=(2xf'u+2yf'v)dx+(-2yf'u+2xf'v)dy,
从而g'x=2xf'u+2yf'v,g'y=-2yf'u+2xf'v
继续求偏导数又可得
g"xx=2f'u+2x(1f'u)'x+2y(f'v)'x
=2f'u+2x(2xf"uu+2yf"uv)+2y(2xf"vu+2yf"vv)
=2f'u+4x2f"vu+8xyf"uv+4y2f"vv,
g"yy=-2f'u-2y(-2yf"uu+2xf"vv)+2x(-2yf"vu+2xf"vv)
=-2f'u+4y2f"uu-8xyf"uv+4x2f"vv
由此即得 g"xx+g"yy=4(x2+y2)(f"uu+f"vv)=0
4. 幂级数
的收敛域是______。
[-4,2)
[解析] 因为
从而,幂级数的收敛半径是R=3。
当x+1=3,即x=2时,幂级数变成正项级数
把它的通项记为u
n,则u
n满足
,故幂级数在x=2处发散.
当x+1=-3,即x=-4时,幂级数变成交错级数
把它的通项记为u
n,则u
n可分解为
由于级数
条件收敛,而级数
绝对收敛,故这两个级数的和级数,即幂级数在x=-4处条件收敛。
综合即得幂级数的收敛域是[-4,2)
5. 与矩阵
可以交换的矩阵是______。
其中t,u是任意实数。
[解析] 设矩阵
与矩阵A可交换,即AB=BA,亦即
即
亦即
由
令b
2=t,b
4=u,解出b
3=-2t,b
1=4t+u,
所以
其中t,u是任意实数。
6. 一学徒工用同一台机床连续独立生产3个同种机器零件,且第i个零件是不合格品的概率P
i=
,以X表示3个零件中合格品零件的个数,则X的概率分布为______。
[解析] 以A
i表示第i个零件合格,i=1,2,3,A
i相互独立,于是有
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1. 求常数k的取值范围,使得不等式kln(1+x)>arctanx当x>0时成立。
从题设可知只需考察k>0的情形
设f(x)=kln(1+x)-arctanx,则f(0)=0,且
令g(x)=kx
2-x+k-1,则当x>0时f'(x)与g(x)同号
由于g(x)满足
由此可见g(x)在(0,+∞)上的最小值
为使
必须且只需正数k满足
即使得不等式kln(1+x)>arctanx当x>0时成立的k是大于
的一切正数。
设f(x)=x2-x+1,t是[1,3]上任意一点,S1(t)表示由曲线y=f(x),直线Y=f(1)及x=t围成的平面图形的面积;S2(t)表示由曲线y=f(x),直线y=f(3)及x=t围成的平面图形的面积。2. 试证:存在唯一点t
0,使S
1(t
0)=S
2(t
0);
按题意画出草图如下。
在(1,3)内,f'(x)=2x-1>0,故f(x)单调增加
因 f(1)=1>0,所以 f(x)>0,x∈(1,3),又
令
存在唯一点
,使F(t
0)=0,即S
1(t
0)=S
2(t
0)。
3. 求S(t)=S
1(t)+S
2(t)的最小值点。
由于 S(t)=S
1(t)+S
2(t)=
令 S'(t)=2t
2-2t-6=0,得驻点
,又
故
是S(t)的极小值点,也是最小值点。
4. 设积分区域D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1},计算二重积分
用x
2+y
2=1把积分区域D分成D
1与D
2两个区域,如图,则
因 D
2={(x,y)}0≤y≤1,故
令y=sinθ,可分别得
代入就有
于是所求的二重积分
设f(x)在[0,2]内二阶连续可导,且f(1)=0,证明:5.
这里用二阶导数来表示定积分值,一个自然的想法是用分部积分法,按要证的结论,也为了利用条件f(1)=0,先将[0,2]上的积分表成[0,1]上的积分与[1,2]上的积分之和。
6.
其中ξ在1与x之间;
函数与其二阶导数之间的关系可用一阶泰勒公式来描述,因此,另一自然的想法是用泰勒公式,由于题中给出条件f(1)=0,我们考虑f(x)在x=1处的带拉格朗日余项的一阶泰勒公式,即
其中ξ在1与x之间,于是
7.
,其中
用题(1)的结论,有
或用题(2)的结论,有
8. 求微分方程
经变换xy=u后所转化的微分方程,并由此求微分方程y(1+x
2y
2)dx=xdy的通解。
(1) 令xy=u,即
于是
代入题设方程有
解得
这是可分离变量方程。
(2) 由于y(1+x
2y
2)dx=xdy可改写为
,与(Ⅰ)中方程比较有f(xy)=1+x
2y
2,令u=xy即得f(u)=1+u
2,再利用(Ⅰ),方程可化为
求积分有
由此解得
其中C是任意常数。
已知α1=(1,3,5,-1)T,α2=(2,7,a,4)T,α3=(5,17,-1,7)T,9. 若α
1,α
2,α
3线性相关,求a的值;
α
1,α
2,α
3线性相关
秩r(α
1,α
2,α
3)<3,由于
所以a=-3
10. 当a=3时,求与α
1,α
2,α
3都正交的非零向量α
4;
设α
4=(x
1,x
2,x
3,x
4)
T,则有(
α1,α
4)=0,(α
2,α
4)=0,(α
3,α
4)=0,即
所以 α
4=k(19,-6,0,1)
T,其中k≠0
11. 当a=3时,证明α
1,α
2,α
3,α
4可表示任一个4维列向量。
由于
所以 x
1α
1+x
2α
2+x
3α
3+x
4α
4=α,恒有解,即任-4维列向量必可由α
1,α
2,α
3,α
4线性表出
或者由(Ⅰ)知α=3时,α
1,α
2,α
3必线性无关,那么:若
k
1α
1+k
2α
2+k
3α
3+k
4α
4=0,
用
左乘上式两端并利用
又α
4≠0,故必有k
4=0,于是k
1α
1+k
2α
2+k
3α
3=0,由α
1,α
2,α
3线性无关知必有k
1=0,k
2=0,k
3=0,从而α
1,α
2,α
3,α
4必线性无关,而5个4维列向量必线性相关,因此任一个4维列向量都可由α
1,α
2,α
3,α
4线性表出。
设B是3阶非零矩阵且满足BA=0。12. 求矩阵B;
由BA=0有r(A)+r(B)≤3,又A,B均非零矩阵,有r(A)≥1,r(B)≥1
故 1≤r(A)≤2,1≤r(B)≤2
又因A中有2阶子式非0,故必有r(A)=2,从而r(B)=1,于是有
由BA=0有A
TB
T=0,那么B
T的列向量是齐次方程组A
Tx=0的解,由
知A
Tx=0的通解为k(-1,1,1)
T,其中k为任意常数。
那么
其中t,u,v是任意不全为0的常数。
所以
其中t,u,v是任意不全为0的常数.
13. 如果矩阵B的第1列是(1,2,-3)
T,求(B-E)
6。
若B的第一列是(1,2,-3)
T,则由(Ⅰ)可知
由于矩阵B的特征值是2,0,0,且λ=0有2个线性无关的特征向量,因此
那么
进而 (B-E)
6~(A-E)
6=E,即P
-1(B-E)
6P=E,
所以 (B-E)
6=E
设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
14. 求(X,Y)的联合分布函数F(x,y);
当x<0或y<0时,F(x,y)=P{X≤0,Y≤0}=0;
当0≤y<x<+∞时,
当0≤x<y<+∞时,
所以(X,Y)的联合分布函数为
15. 求z=X+Y的密度函数f
Z(z);
由和的密度函数公式
当z<0时,f
Z(z)=0;
当z≥0时,
所以
16. 求P{X+Y<1}。
或直接利用(Ⅱ)中求出的概率密度计算,即
有甲、乙、丙三个口袋,其中甲袋装有1个红球,2个白球,3个黑球;乙袋装有2个红球,1个白球,2个黑球;丙袋装有2个红球,3个白球,现任取一袋,从中任取2个球,用X表示取到的红球数,Y表示取到的白球数,Z表示取到的黑球数。17. 求(X,Y)的联合分布;
用全概率公式求(X,Y),(Y,Z)的联合分布,即有
从而(X,Y)与(Y,Z)的联合分布与边缘分布可列成下表:
18. 求cov(X,Y)+cov(Y,Z)。
[解法一]
于是 cov(X,Y)+cov(Y,Z)=(EXY-EXEY)+(EYZ-EYEZ)
[解法二] (1) 求(X,Y)的联合分布同[解法一],但不要求(Y,Z)的联合分布,
(2) 由于Z=2-X-Y,故
cov(X,Y)+cov(Y,Z)=cov(X,Y)+cov(Y,2-X-Y)
=cov(X,Y)-cov(X,Y)-cov(Y,Y)=-DY。
又
故