一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
4. 已知函数f(x)在(-∞,+∞)上二阶可导,且f"(x)>0,
,则当x>1时,f(x)
- A.单调减少且大于零
- B.单调增加且大于零
- C.单调减少且小于零
- D.单调增加且小于零
A B C D
B
[解析] 由
有f(1)=0,f'(1)=0。
又f"(x)>0,可知f'(x)单调递增。
[详解] 由
有f(1)=0,f'(1)=0
f"(x)>0,可知f'(x)单调递增
当x>1时,f'(x)>f'(1)=0,可见f(x)单调递增,从而f(x)>f(1)=0,
因此当x>1时,f(x)单调递增且大于零,故应选(B)。
[评注] 一般地,若f(x)在x
0连续,则
f(x
0)=a.
5. 设平面区域D由x=0,y=0,
围成,若
则I
1,I
2,I
3之间的关系为
- A.I1<I2<I3
- B.I3<I2<I1
- C.I1<I3<I2
- D.I3<I1<I2
A B C D
C
[解析] 利用重积分的性质
[详解] 当
x>0,y>0时,ln(x+y)≤0。
又当
,sin(x+y)<x+y,所以
ln(x+y)≤0≤sin(x+y)≤x+y,
从而在区域D内ln
3(x+y)≤sin
3(x+y)≤(x+y)
3,
从而
即I
1<I
3<I
2,故应选(C)。
6. 已知函数y=y(x)在任意点x处的增量为
其中α是比△x(△x→0)高阶的无穷小,且y(0)=π,则y(1)等于
A B C D
A
[解析] 利用导数的定义得一微分方程,解此方程得函数的表达式,进而得y(1)。
[详解] 由题设
解得ln|y|=arctanx+C,或y=Ce
arctanx,
又y(0)=π,得C=π
于是 y(x)=πe
arctanx 所以
[评注] 本题将可导与微分方程巧妙地结合起来,本题的考点是可导、可微以及微分方程的解法。
7. 设A是一个n×n矩阵,交换A的第i行、第j行,然后再交换其第i列、第j列,所得矩阵为B,考虑命题:①|A|=|B|;②r(A)=r(B);③A、B的行向量组等价;④A与B为相似矩阵,则以上命题成立的个数为
A B C D
C
[解析] 由题设,存在初等矩阵E
ij(交换单位矩阵E的第i行、第j行或第i列、第j列后所得矩阵),使得
E
ijAE
ij=B
于是 |B|=|E
ij|·|A|·|E
ij|=(-1)·|A|·(-1)-|A|;r(A)=r(B);
且
即 A~B,可见命题①、②、④均成立。
令
则
显然A、B的行向量组不等价,命题③不成立,故应选(C).
二、填空题1. 设f(x)连续,且当x→0时,
是与x
3等价的无穷小量,则f(0)=______。
[解析] 由等价无穷小的定义及L'Hospital法则有
故
2. 设f(x)满足
f(0)=0且有一阶导数,则当x≠0时,f'(x)=______。
-2sinx-xcosx
[解析] 令u=tx,则有
于是
即
两边对x求导,f(x)=f(x)+xf'(x)+2xsinx+x
2cosx,x≠0
故 f'(x)=-2sinx-xcosx
3. 设f(x)在点x=0可导,且
则f'(0)=______。
0
[解析] 由
于是
4. 设函数z=f(x,y)的二阶偏导数存在,
且f(x,0)=1,f'
y(x,0)=x,则f(x,y)=______。
y2+xy+1
[解析] 由
由f'
y(x,0)=x,得C
1(x)=x,于是有
从而z=y
2+xy+C
2(x),又f(x,0)=1,得C
2(x)=1,故
z=f(x,y)=y
2+xy+1
5. 已知f(x)在点x=0的某个邻域内可展成泰勒级数,且
则f"(0)=______。
2
[解析] 由题设,在x=0的某邻域内有
故n充分大时,
从而有
即 f"(0)=2
6. 设A为3阶矩阵,α
1,α
2,α
3为3维线性无关的列向量,且Aα
1=α
3,Aα
2=α
2,Aα
3=α
1,则秩r(A-E)=______。
1
[解析] 由A[α
1,α
2,α
3]=[α
3,α
2,α
1]=[α
1,α
2,α
3]
知,
若令P=[α
1,α
2,α
3],则P可逆,且
即A~B,从而A-E~B-E,
于是 r(A-E)=r(B-E)=r
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1. 计算
2. 设
由复合函数的概念知,
当x<-1时,f(x)=1-x
2<0,故
f[f(x)]=1-[f(x)]
2=1-(1-x
2)
2=2x
2-x
4,
当-1≤x<0时,f(x)-1-x
2≥0,故
f[f(x)]=1+f(x)=1+(1-x
2)=2-x
2,
当x≥0时,f(x)=1+x>0,故
f[f(x)]=1+f(x)=1+(1+x)=2+x,
综上有
于是,
当x<-1时,
当-1≤x<0时,
当x≥0时,
从而
3. 如果f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=1,
试证:
因为f(x)在[0,1]上二阶可导,所以在[0,1]上f'(x)存在且连续,进而知f(x)在[0,1]上连续,由题设知
我们令f(x
0)=0,易见x
0≠0,1,所以0<x
0<1
由于f(x)在x
0点可导且在x
0点取最小值,所以f'(x
0)=0
将f(x)按(x-x
0)的幂展开为二阶泰勒公式,有
其中ξ在x与x0
之间,考虑到f(x
0)=f'(x
0)=0,有
即
取x=0,1,并考虑到f(0)=f(1)=1,有
于是,当
时,有
当
时,有
从而,有
[解析] 欲证的结论中含有f"(x),这使人想到泰勒公式.进一步考虑,应将f(x)展成哪一点处的二阶泰勒公式呢?显然该点应该是函数f(x)的零点。
4. 设f(x)=arctanx,试导出关系式
(1+x
2)f
(n+2)(x)+2(n+1)xf
(n+1)(x)+n(n+1)f
(n)(x)=0,
并求f
(n)(0)。
因f(x)=arctanx,则
f'(x)(1+x
2)=1
上式两端求n+1阶导数,得
即
于是得递推公式
(1+x
2)f
(n+2)(x)+2(n+1)xf
(n+1)(x)+n(n+1)f
(n)(x)=0
令x=0,由上式得
f
(n+2)(0)=-n(n+1)f
(n)(0),
因
所以,由上式知
当n=2m+1时,f
(2m+1)(0)=-2(2m-1)2mf
(2m+1)(0),
又因f'(0)=1,所以f
(2m+1)(0)=(-1)
m(2m)!
5. 曲线y=f(x)(x≥0,y≥0)连续且单调,从其上任一点A作x轴与y轴的垂线,垂足分别是B和C,若由直线AC,y轴和曲线本身包围的图形的面积等于矩形OBAC的面积的
,求曲线的方程。
(1) 如图3所示,当f(x)单调增加时,在曲线上任取点A(a,f(a)),由题意得
即:
两边对a求导得
3f(a)=Bf(a)+2af'(a)
化简得
积分得
于是所求曲线方程为
(其中C为任意常数)。
(2) 如图4所示,当f(x)单调减少时,有
化简求导得:
积分得
于是所求曲线方程为
(C为任意常数)。
6. 计算
这两个二次积分的积分区域分别为
则D
1+D
2可写为D=D
1+D
2={(x,y)
交换二次积分的次序得
原式
[解析] 交换积分次序求解即可。
[评注] 对于计算一个直角坐标系下的二次积分,先交换积分次序或化为极坐标系下的二次积分,再进行计算。
7. 设f(t),g(t)与y(t)均为[a,b]上的连续函数,f(t)>0且
试证明在[a,b]上成立不等式:
令
有y(t)-g(t)≤R(t)
又R'(t)=f(t)y(t)≤f(t)g(t)+f(t)R(t),进一步有
R'(t)-f(t)R(t)≤f(t)g(t),
即
上式两边在[a,t]上积分,并注意到R(a)=0,有
8. 设n维列向量α
1,α
2,…,α
s线性无关,其中s是大于2的偶数,若矩阵A=(α
1+α
2,α
2+α
3,…,α
s-1+α
s,α
s+α
1),试求非齐次线性方程组Ax=α
1+α
s的通解。
Ax=α
1+α
s ①
记x=(x
1,x
2,…,x
s)
T,则方程组①化为
x
1(α
1+α
2)+x
2(α
2+α
3)+…+x
s-1(α
s-1+α
s)+x
s(α
s+α
1)=α
1+α
s 整理得
(x
1+x
s-1)α
1+(x
1+x
2)α
2+…+(x
s-2+x
s-1)α
s-1+(x
s-1+x
s-1)α
s=0
由α
1,α
2,…,α
s线性无关,得
显然①与②同解,下面求解②:将②的增广矩阵施行初等行变换得(注意s是偶数)
从而
,②有无穷多解,易知特解为η
0=(1,-1,1,-1,…,1,0)
T,对应齐次方程组的基础解系为η
1=(1,-1,1,-1,…,1,-1)
T,从而②的通解,即①的通解为x=η
0+kη
1,k为任意常数。
已知方程组有无穷多解,矩阵A的特征值是1,-1,0,对应的特征向量依次是α1=(1,2a,-1)T,α2=(a-2,-1,a+1)T,α3=(a,a+3,a+2)T9. 求矩阵A;
当a=-1及a=0时,方程组均有无穷多解。
当a=-1时,则α
1=(1,-2,-1)
T,α
2=(-3,-1,0)
T,α
3=(-1,2,1)
T线性相关,不合题意。
当a=0时,则α
1=(1,0,-1)
T,α
2=(-2,-1,1)
T,α
3=(0,3,2)
T线性无关,可作为三个不同特征值的特征向量。
由A[α
1,α
2,α
3]=[α
1,-α
2,0],知
10. 求(E+A)x=0的基础解系。
(E+A)x=0
(-E-A)x=0,可见(E+A)x=0的基础解系即为λ
2=-1的特征向量α
2=(-3,-1,0)
T