一、选择题 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1. 累次积分
可写成
A B C D
D
[解析]
其图形如图5所示.由图形即可看出
可知应选(D).
[分析] 先将积分区域D用极坐标表示,再转化为用直角坐标表示,然后可表示成直角坐标下的累次积分形式.
[评注] 一般都是由直角坐标化为极坐标,反过来,由极坐标转换为直角坐标也应熟悉.
2. 设f(x)在(-∞,+∞)内可导,且对任意x
1,x
2,当x
2>x
1时,都有f(x
2)-f(x
1)>0,则正确的结论是
(A) 对任意x,f'(x)>0.(B) 对任意x,f'(-x)≤0.
(C) 函数-f(-x)单调增加.(D) 函数f(-x)单调增加.
A B C D
C
[解析] 因为f(x)在(-∞,+∞)内可导,又对任意x2>x1,均有f(x2)>f(x1),可知f'(x)≥0,由此可知(A),(B)不入选.
令F(x)=-f(-x),则F'(x)=-f'(-x)·(-1)=f'(-x)≥0.可知应选(C).
[分析] 利用单调性的定义解题.
[评注] 设f(x)可导,若f'(x)>0,则f(x)单调增加;若f(x)单调,则f'(x)≥0.
4. 已知函数f(x,y)=|x-y|g(x,y),其中g(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义,则f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在的充要条件是
A B C D
D
[解析] 因为
所以,f'
x(0,0)与f'
y(0,0)存在的充要条件是极限
与
存在且都等于零.
因此,当g(x,y)在点(0,0)处连续,且g(0,0)=0时,有
即
故应选(D).
[分析] 因为f(x,y)含有绝对值,已知只给出g(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义,所以,利用偏导数定义讨论偏导数的存在性.
[评注] 本题考查二元函数偏导数、极限、连续的概念,反之则不然.
5. 设y=g(x)由方程y=f(x
2+y
2)+f(x+y)确定,且y(0)=2,其中f(x)是可导函数,且
,则y'(0)等于
A B C D
B
[解析] 方程y=f(x
2+y
2)+f(x+y)的两边对x求导,得
y'=f'(x
2+y
2)(2x+2yy')+f'(x+y)(1+y').
令x=0,得
y'(0)=f'(2
2)(2×0+2×2y'(0))+f'(2)(1+y'(0)).
于是y'(0)=4y'(0)f'(4)+f'(2)(1+y'(0)).
因为
,所以
则有
,故应选(B).
7. 设矩阵
,则下列矩阵中与A相似的为
A B C D
A
[解析] A的特征值为λ
1=λ
2=1,λ
3=2,又r(E-A)=1,故A可对角化,即相似于对角阵
类似讨论可知只有(A)中矩阵可对角化为Λ,即与A相似.因此选(A).
8. 设A、B均为n阶矩阵,且(AB)
2=E,则下列命题中不正确的是
- A.(BA)2=E.
- B.A-1=B.
- C.r(A)=r(B).
- D.A-1=BAB.
A B C D
B
[解析] 由于(AB)
2=E,知ABAB=E,又因A、B均为n阶矩阵,故A、B均可逆,那么r(A)=r(B)=n,即(C)正确,且A
-1=BAB,即(D)正确.右乘A得知(A)正确.
由于(AB)
2=E不能推出AB=E,故A
-1=B不一定正确.例如
二、填空题1.
=______.
[解析]
2. 曲线
在点(0,1)处的切线斜率为______.
[解析]
故所求切线斜率为:
[分析] 按参数方程求导即可,注意x=0时,t=0.
3. 交换积分顺序
=______.
[解析] D=D
1+D
2,其中
[分析] 由原积分限确定积分区域,然后再化为先x后y的积分顺序.
[评注] 交换积分顺序问题一般应先确定积分区域,再换为另一积分顺序.
4. 由拉格朗日中值定理有e
x-1=xe
xθ(x),其中0<θ(x)<1,则
=______.
[解析] 由e
x-1=xe
xθ(x),解出
,于是
5. 设y=f(x)二阶可导,且
,若y=f(x)的一个拐点是(x
0,3),则β=______.
3
[解析] 由
,令其为零,考虑到y'≠0,y=3,解得β=3.
6. 设
,且已知B
3-aB+bE,E为3阶单位矩阵,a,b为两实数,则a,b的值分别为______.
a=21,b=-20.
[解析] 因
,于是,B=A+E,B
3=(A+E)
3=A
3+3A+E,而
故B
3=21A+E=21(B-E)+E=21B-20E,从而得a=21,b=-20.
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. [x]表示不超过z的最大整数,试确定常数a的值,使
存在,并求出此极限.
[详解] 因为
可见a=-2时,原极限存在,且原极限=2.
2. 设φ(x)在[0,1]上具有连续导数,且φ(0)=0,φ(1)=1,证明:
[详解] 因为φ'(x)-φ(x)=e
x[e
-xφ(x)]',所以
3. 设f(x)在区间[-1,1]上有三阶连续导数,证明:存在实数ξ∈(-1,1),使得
[详解] 将f(x)在x=0处按泰勒公式展开,有
,其中η在0与x之间.
令x分别为1,-1,得
其中η
1∈(-1,0),η
2∈(0,1).
上述两式相减得
由f'"(x)在[η
1,η
2]上连续,不妨设f'"(x)在[η
1,η
2]上的最大值、最小值分别为M,m,则
根据介值定理,存在ξ∈[η
1,η
2]
(-1,1),使得
于是
,即存在ξ∈(-1,1),使得
4. 计算
,其中D:0≤x≤y≤2π.
[详解] 先通过分解积分区域去掉被积函数的绝对值.将区域D分解为D
1和D
2,其中D
1={(x,y)|0≤y-x≤π},D
2={(x,y)|π≤y-x≤2π},于是
5. 设有微分方程
(x
2lnx)y"-xy'+y=0.
(Ⅰ) 验证y
1=x是微分方程的一个解;
(Ⅱ) 利用变量代换y=xu,化简微分方程(x
2lnx)y"-xy'+y=0,求出其另一解;并求微分方程(x
2lnx)y"-xy'+y=0的通解.
[详解] (Ⅰ) 因为y
1=x,y'
1=1,y"
1=0,代入(x
2lnx)y"-xy'+y=0后显然满足,可见y
1=x是微分方程的一个解.
(Ⅱ) 设y=xu,求出其一阶、二阶导数后代入微分方程,有
(x
2lnx)(xu"+2u')-x(xu'+u)+xu=0,
即 (x
3lnx)u"+x
2(2lnx-1)u'=0.
令p=u',化简后得
由分离变量法解得
(取一个解即可).
故
从而方程有另一解为y
2=lnx+1.
故微分方程的通解为y=C
1x+C
2(lnx+1).
6. 设f(x)为单调可导函数,其反函数为g(x),且已知f(1)=2,
求g"(2).
[详解] 令y=g(x),则x=f(y)=f[g(x)].
两边对x求导,得
1=f'(y)·g'(x),
当x=2时,由f(1)=2知y=1.于是有
1=f'(1)·g'(2),即
.
对1=f'(y)·g'(x)两边再关于x求导,得
0=f"(y)·[g'(x)]
2+f'(y)g"(x),
即0=f"(1)[g'(2)]
2+f'(1)g"(2),解得
.
7. 计算二重积分
,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1).
[详解]
令x=tant,可得
在I
1的第二项积分中,令
,得到
于是
[评注] 由于积分限均为常数,上述累次积分实际上是两个定积分的乘积.
8. 已知列向量组α
1,α
2,…,α
a线性无关,列向量组β
1,β
2,…,β
t可由α
1,α
2,…,α
s线性表示,且
记矩阵C=(c
ij)
s×t,证明:向量组β
1,β
2,…,β
t线性相关的充分必要条件为矩阵C的秩r(C)<t.
[详解] 由题设,有
其中矩阵C的第j列是β
j由α
1,α
2,…,α
s线性表示的表示系数(j=1,2,…,t).
必要性 因为β
1,β
2,…,β
t线性相关,所以存在不全为零的数x
1,x
2,…,x
t,使
x
1β
1+x
2β2
+…+x
tβ
t=0,
记作
其中x=(x
1,x
2,…,x
t)
T≠0.于是有
(β
1,β
2,…,β
t)x=(α
1,α
2,…,α
s)Cx=0,
因向量组α
1,α
2,…,α
s线性无关,故上式中α
1,α
2,…,α
s的组合系数Cx只能为零,即
Cx=0.
又x≠0,即上述齐次线性方程组有非零解,因此矩阵C的秩r(C)<t.
充分性 因为r(C)<t,因此存在x≠0,使Cx=0,因而有
(β
1,β
2,…,β
t)x=(α
1,α
2,…,α
s)Cx=(α
1,α
2,…,α
s)·0=0,
记 x=(x
1,x
2,…,x
t)
T,则上式为
x
1β
1+x
2β
2+…+x
tβ
t=0,
其中x
1,x
2,…,x
t不全为零,故向量组β
1,β
2,…,β
t线性相关.
[评注] 若t>s,则r(C)<t,因此β
1,β
2,…,β
t必线性相关;若t=s,则β
1,β
2,…,β
t线性相关的充分必要条件为矩阵C的行列式|C|=0.
9. 设
,求A的特征值,并讨论A是否可对角化?可对角化时写出对角矩阵.
[详解]
于是A的3个特征值为λ
1=1-a,λ
2=a,λ
3=1+a.
(Ⅰ) 当a≠0,且
时,A有3个不同特征值,故A可以对角化,且可对角化为
.
(Ⅱ) 当a=0时,λ
1=1,λ
2=0,λ
3=1,此时A有二重特征值1,而r(E-A)=2,λ
1=λ
3=1仅对应1个线性无关的特征向量,故此时A不可对角化.
(Ⅲ) 当
,此时A有二重特征值
=
仅对应1个线性无关的特征向量,故此时A不可对角化.