一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项符合试题要求.
4. 设D:x
2+y
2≤1,y>0;D
1:x
2+y
2≤1,x≥0,y≥0,则
(A)
(B)
(C)
(D)
A B C D
C
积分区域D关于y轴对称,而被积函数y=|x|为偶函数,故
8. 设随机变量X,Y同分布,概率密度为
且
,则a的值为
(A)
(B)
(C)
(D)
A B C D
A
由题设
于是
二、填空题1. 设
,则
2. 差分方程
的通解为______.
将原方程改写为
,用公式,该方程有特解
故原方程的通解为
3.
4. 设z=z(x,y)是由方程
确定的隐函数,则
1
由已知x=lnz-lny,两边对x求偏导,得
5. 已知A、B为三阶矩阵,
,且满足关系式(A
*)
-1B=ABA+2A
2,则B=______.
等式(A
*)
-1B=ABA+2A
2两边同时左乘A
*,得
B=A
*ABA+2A
*A
2=|A|[BA+2A]=-3BA-6A,即B[E+3A]=-6A,从而
6. 已知二次型
,其中ξ是服从区间(0,5)上均匀分布的随机变量,则此二次型为正定二次型的概率是______.
ξ的概率密度为
,二次型对应矩阵为
,由A正定的充要条件是其所有顺序主子式全大于零,得1-ξ
2>0.因此所求概率为
三、解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
2. 设f(x)=λe
-x+x
2-x,若对一切x>0,常数λ最小应取什么值时,恒有f(x)≥1.
在(0,+∞)内若f(x)=λe
-x+x
2-x≥1,即λ≥(1+x+x
2)e
x.
记 g(x)=(1+x-x
2)e
x,g'(x)=(2-x-x
2)e
x,
令g'(x)=0,得x=1是g(x)在(0,+∞)内唯一驻点,且g(1)=e,
又
故g(1)=e是g(x)在(0,+∞)内最大值,即e≥(1+x-x
2)e
x,x∈(0,+∞).于是当λ≥e时,有
λ≥(1+x-x
2)e
x,x∈(0,+∞).即λ最小取e时,在(0,+∞)内恒有2e
-x+x
2-x≥1.
3. 证明:当x>0时,有不等式(1+x)ln(1+x)>arctanx.
构造辅助函数 f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx.
显然,f(x)在x≥0时连续,且f(x)=0,又
因为
,故一阶导函数f'(x)在x>0时严格单调增加,则有f'(x)>f'(0)=0,进而知函数f(x)在x>0时严格单调增加,所以当x>0时,有f(x)>f(0)=0,即原不等式成立.
4. 设函数f(x)在[0,1]上连续,并设
,试求
.
所求积分中,
无法计算,可考虑更换积分次序,但改变积分次序后,
仍无法计算,再考虑利用定积分对积分变量的无关性,将积分向已知积分
转化.
于是
故
设P(x)=x3+ax2+bx+c,设方程P(x)=0有三个相异的实根x1,x2,x3,且x1<x2<x3,试证:5. P'(x
1)>0,P'(x
2)<0,P'(x
3)>0;
由题设P(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3),
P'(x)=(x-x2)(x-x3)+(x-x1)(x-x3)+(x-x2)(x-x2),
P'(x1)=(x1-x2)(x1-x3)>0,
P'(x2)=(x2-x1)(x2-x3)<0,
P'(x3)=(x3-x1)(x3-x2)>0.
6. 若
,则存在点ξ∈(x
1,x
2),使
令
(因在(x
2,x
3)内P(x)<0),Ф(x)连续,
由介值定理,存在ξ∈(x
1,x
2),使
7. 设α,β为三维单位列向量,并且α
Tβ=0,若设A=αα
T+ββ
T,则必有非零列向量x,使得Ax=0,并且A与
相似.
考虑线性方程组
其系数矩阵秩为2,故必有非零解x,使α
Tx=0,β
Tx=0.这样可使Ax=(αα
T+ββ
T)x=0.
事实上,Aα=α,Aβ=β,Ax=0·X,故λ=1,1,0是A的特征值.相应有线性无关的特征向量α,β,x从而有可逆矩阵P=[α,β,x]使p-
1AP=A,其中
已知三阶矩阵B≠0,且B的每一个列向量都是以下方程组的解8. 求λ的值;
因为B≠0,故B中至少有一个非零列向量,于是,推出所给齐次线性方程组有非零解,故其系数矩阵的秩r(A)<3,于是有子式
9. 证明:|B|=0.
因为B的每一列向量都是方程组的解,故有A·B=0,由A≠0,必有|B|=0.事实上,若|B|≠0,则.B可逆,在AB=0两边右乘B-1,得ABB-1=0B-1,即有A=0,这与A≠0的事实矛盾,故|B|=0.
10. 向直线上掷随机点,已知随机点落入H
1=(-∞,0),H
2=(0,1]和H
3=(1,+∞)的概率分别等于0.2,0.5和0.3,并且随机点在(0,1]上分布是均匀的,假设随机点落入(-∞,0)得0分,落入(1,+∞)得1分,落在区间(0,1]的x点得x分,以X表示得分,试求X的分布函数.
以H
i(i=1,2.3)表示事件“随机点落入区域H
i上”,那么
P(H
1)=0.2,P(H
2)=0.5,P(H
3)=0.3,
由全概率公式,得
设随机变量Y服从参数为λ=1的泊松分布,随机变量试求:11. X
0与X
1的联合分布律;
P(X
0=0,X
1=0)=P(Y≤0,Y≤1)=P(Y≤0)=P(Y=0)=e
-1,
P(X
0=1,
X1=0)=P(Y>0,Y≤1)=P(Y=1)=e
-1.
P(X
0=0,X
1=1)=P(Y≤0,Y>1)=0,
P(X
0=1,X
1=1)=P(Y>0,Y>1)=P(Y>1)
=1-P(Y=0)=P(Y=1)=1-2e
-1.
所以联合分布律为
12. E(X
0+X
1).
E(X0+X1)=E(X0)+E(X1)=1-e-1+1-2e-1=2-3e-1.