一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
1. 设f(x)在[0,1]有连续导数,且f(0)=0,令
,则必有
A B C D
A
[解析] 考察f(x)与f'(x)的关系.设x∈[0,1],则由牛顿-莱布尼兹公式及f(0)=0,有
由积分基本性质,并考虑到
,有
于是
[分析二] 同样考察f(x)与,f'(x)的关系.由拉格朗日中值定理知当x∈[0,1]时
f(x)=f(x)-f(0)=f'(ξ)x,ξ∈(0,x).
故选(A).
2. 设f(x)满足f"(x)+(1-cosx)f'(x)+xf(x)=sinx,且f(0)=2,则
- A.x=0是f(x)的极小值点.
- B.x=0是,f(x)的极大值点.
- C.曲线y=f(x)在点(0,f(0))左邻域内是凹的,右邻域内是凸的.
- D.曲线y=f(x)在点(0,f(0))左邻域内是凸的,右邻域内是凹的.
A B C D
C
[解析] 由f"(x)+(1-cosx)f'(x)+xf(x)=sinx,有f"(0)=0,且
f'''(x)+sinx·f'(x)+(1-cosx)f"(x)+xf'(x)+f(x)=cosx,
于是f'''(0)=1-f(0)=-1<0,
即有
而f"(0)=0,所以
于是存在δ>0使得当-δ<x<0时f"(x)>0,即曲线y=f(x)是凹的;当0<x<δ时,f"(x)<0,即曲线y=f(x)是凸的.故选(C).
3. 设f(x)在x=0处存在4阶导数,又
,则必有
- A.f'(0)=1.
- B.f"(0)=2.
- C.f'''(0)=3.
- D.f(4)(0)=4.
A B C D
C
[解析] 用带皮亚诺余项的泰勒公式.先考虑分母,
然后将分子f(x)在x
0=0按带三阶皮亚诺余项的泰勒公式展开,则有
将上式代入极限式,由题设有
所以f(0)=0,f'(0)=0,f"(0)=0,f'''(0)=3.故选(C).
[分析二] 分母用等价无穷小替换,有
可见
不然与极限为1矛盾.对上式用洛必达法则,有
可见,
不然,上式应为∞,与等于1矛盾.再用洛必达法则,有
故选(C).
4. 设函数f(x,y)连续,则二次积分
等于
A B C D
B
[解析]
其中,D
1:0≤x≤π,0≤y≤sinx;D
2:π≤x≤2π,sinx≤y≤0.
sin(x-2π)=sinx=y,x-2π=arcsiny,x=2π+arcsiny.因此D
1,D
2可以表示为
D
1:0≤y≤1,arcsiny≤x≤π-arcsiny,
D
2:-1≤y≤0,π-arcsiny≤x≤2π+arcsiny,
如右图所示.
于是
故选(B).
7. 在区间(-1,1)上任意投一质点,以X表示该质点的坐标.设该质点落在(-1,1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比,则
- A.X与|X|相关,且相关系数|ρ|=1.
- B.X与|X|相关,但|ρ|<1.
- C.X与|X|不相关,且也不独立.
- D.X与|X|相互独立.
A B C D
C
[解析] 依题设,X在[-1,1]上服从均匀分布,其概率密度为
由于
故cov(X,|X|)=0,从而ρ=0,X与|X|不相关.于是可排除(A)与(B).
对于任意实数a(0<a<1),有
又P{x<a,|X|<a}=P{|X|<a}=a,
从而P{X<a}P{|X|<a}≠P{X<a,|X|<a},即
所以X与|X|不独立,故应选(C).
8. 设随机变量X
1,X
2,X
3,X
4相互独立且都服从标准正态分布N(0,1),已知
,对给定的α/(0<α<1),数y
α满足P{Y>y
α}=α,则有
A B C D
A
[解析] 依题意可知,
相互独立都服从自由度为2的χ
2分布,因此Y=
因为P{Y>y
α}=α,即y
α=F
α(2,2),又
由α=P{Y>y
α}可知
故应选(A).
二、填空题1. 设f(x)在x=0处连续,且
,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为______.
[解析] 由极限与无穷小的关系,有
[分析二] 利用sinx的带皮亚诺余项的三阶泰勒公式有
代入原极限式即得
可见
,于是
,且
以下同[分析一].
2. 设y=y(x)由方程
确定,则Y"(0)=______.
-2π.
[解析] 由
,以x=0代入可知y=1.再将所给方程两边对x求导即得
将x=0,y=1代入,得y'(0)=3,y"(0)=-2π.
3. 设G'(x)=e
-x2,且
______.
4. 微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0满足y(1)=2的特解是y=______.
[解析] 原方程可改写为xdy+ydy+ydx+dx=0即
从而方程的通解为
,利用y(1)=2可确定常数
,故所求特解满足y
2+2xy+2x=10,解出即得
5. 已知
,则A
-1=______.
6. 设X,Y相互独立,且分别服从区间[-1,4],[1,5]上的均匀分布,则P{0≤max{X,Y}≤3}=______.
[解析] P{0≤max{X,Y}≤3}=P{max{X,Y}≤3}-P{max{X,Y}≤0}
=P{X≤3}·P;Y≤3}-P{X≤0}·P{y≤0}
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1. 试讨论曲线y=f(x)=e
x+ax
3的拐点的个数,其中a为常数.
[分析] 曲线y=f(x)的拐点就是使其二阶导函数f"(x)从正变到负或从负变到正的点,因而应先求出
,并研究g(x)在其零点两侧的符号.显然,a=0时g(x)无零点;a>0且x≥0时g(x)无零点;a<0且x≤0时g(x)无零点.故只需讨论a>0,x<0时与a<0,x>0时的情形.
[解法一] 考察g(x)的单调性区间,
,g(0)及g(x)的极值的正负号.
(Ⅰ)a>0,x∈(-∞,0]时,由
g'(x)=e
x+6a>0
g(x)在(-∞,0]单调上升,又
由二者异号知g(x)在(-∞,0)有唯一零点,记为x
1,如图(1),且零点两侧g(x)异号.因此a>0时曲线y=f'(x)有唯一拐点(x
1,f(x
1)).
(Ⅱ)a<0,x∈[0,+∞)时,由
(如图(2)),
可知g(x)在[0,x
*]单调下降,在[x
*,+∞)单调上升,故g(x)>g(x
*)(x∈[0,+∞),x≠x
*).又由于
g(x
*)=e
ln(-6a)+6aln(-6a)
可见当
时g(x)≥g(x
*)≥0(x≥0),即y=f(x)无拐点.
当
时g(x)<0,又g(0)=1,且
从而g(x)在(0,x
*),(x
*,+∞)各有唯一零点,分别记为x
1,x
2,如图(3),且在零点两侧g(x)异号.因此当
时f(x)有且仅有两个拐点(x
1,f(x
1))与(x
2,f(x
2)),其中x
1∈(0,x
*),x
2∈(x
*,+∞).
[解法二] 显然g(0)≠0,于是g(x)的零点且零点两侧g(x)异号等价于
的零点且两侧h(x)异号.下面考察h(x)的单调性区间,
及h(x)的极值的正负号.由于
(Ⅰ)当x∈(-∞,0)时h(x)单调下降,又
于是当Ⅱ<0时h(x)在(-∞,0)无零点,即y=f(x)在(-∞,0)无拐点;当x>0时h(x)在(-∞,0)有唯一零点且两侧h(x)异号(如图(4)),即y=f(x)在(-∞,0)有唯一拐点.
(Ⅱ)当x∈(0,+∞)时h(x)在(0,1]单调下降,在[1,+∞)单调上升,从而h(x)>h(1)(x>0,x≠1).又由
可知,当
时h(x)≥h(1)≥0(x>0),即y=f(x)在(0,+∞)无拐点(如图(5));当
时h(1)<0,又由
即知h(x)在(0,1),(1,+∞)各有唯一零点(分别记为x
1,x
2,如图(6))且在零点两侧h(x)异号.因此,
时y=f(x)有且仅有两个拐点(x
1,f(x
1)),(x
2,f(x
2)),其中x
1∈(0,1),x
2∈(1,+∞).
综上分析,结论是当a>0时y=f(x)有唯一拐点(且横坐标为负);当
时y=f(x)无拐点;当
时y=f(x)恰有两个拐点(横坐标均为正).
2. 设,f(x)在[-a,a](n>0)上具有三阶连续导数,且满足
,证明存在ξ∈[-a,a],使得
.
[分析与证明] 本题即证存在
看到这种形式,应该想到对f'''(x)在[-a,a]上使用介值定理,这样便需要联系积分
函数f(x)与其导数f'''(x),涉及积分的保号性与麦克劳林公式.
在
中令u=x-t可得
于是
由麦克劳林公式,有
其中η介于0与x之间,x∈[-a,a].
由于,f'''(x)在[-a,a]上连续,因此f'''(x)在[-a,a]上有最大值M与最小值m,从而
即
再由连续函数的介值定理可知,至少存在一点ξ∈[-a,a],使得
3. 设u=u(x,y)由方程组
u=f(x,y,z,t),g(y,z,t)=0,h(z,t)=0
所确定,其中f,g,h对各变量有连续的偏导数,且
.
求
.
[分析与求解] 在本题的三个方程中包含五个变量,因而其中有三个因变量,其余两个为自变量.按题意x,y为自变量,从而u,z,t均为因变量.由第二、第三个方程知x与t只是y的函数,因此
对y求偏导数,由复合函数求导法得
方程②,③是以
为未知数的二元线性方程组,由系数行列式不为零知有唯一解,即
代入①即得
4. 计算二重积分
,其中D={(x,y)|x≥0,y≥0,z+y≤1}.
[解] 首先,由被积函数与积分区域关于x与y的轮换对称性有
令x+y=u(视x为常数),得
交换积分次序即得
令
作换元,易得
5. 将函数
展开成(x-2)的幂级数,并指出其成立范围.
[解] 令u=x-2,则x=u+2,于是
又
成立的范围是
与|u|<1的公共部分,即|u|<1.从而知
即
又因为当x=3时上述级数发散,当x=1时上述级数收敛,且当x=1时f(x)连续,故上述展开式成立的范围为1≤x<3.
6. 已知α
1=(1,3,5,-1)
T,α
2=(2,7,a,4)
T,α
3=(5,17,-1,7)
T,
(Ⅰ)若α
1,α
2,α
3线性相关,求a的值;
(Ⅱ)当n=3时,求与α
1,α
2,α
3都正交的非零向量α
4;
(Ⅲ)当n=3时,证明α
1,α
2,α
3,α
4可表示任一个4维列向量.
[解] (Ⅰ)α
1,α
2,α
3线性相关
秩r(α
1,α
2,α
3)<3.由于
所以a=-3.
(Ⅱ)设α
4=(x
1,x
2,x
3,x
4)
T,则有(α
1,α
4)=0,(α
2,α
4)=0,(α
3,α
4)=0,即
所以α
4=k(19,-6,0,1)
T,其中k≠0.
(Ⅲ)由于
所以x
1α
1+x
2α
2+x
3α
3+x
4α
4=α恒有解,即任一4维列向量必可由α
1,α
2,α
3,α
4线性表出.
或者由(Ⅰ)知a=3时,α
1,α
2,α
3必线性无关,那么:若
k
1α
1+k
2α
2+k
3α
3+k
4α
4=0,
用
左乘上式两端并利用
,又α
4≠0,故必有k
4=0.于是k
1α
1+k
2α
2+k
3α
3=0.由α
1,α
2,α
3线性无关知必有k
1=0,k
2=0,k
3=0,从而α
1,α
2,α
3,α
4必线性无关.而5个4维列向量必线性相关,因此任一个4维列向量都可由α
1,α
2,α
3,α
4线性表出.
7. 已知A是3阶矩阵,α
1,α
2,α
3是线性无关的3维列向量,满足Aα
1=-α
2-3α
2-3α
3,Aα
2=4α
1+4α
2+α
3,Aα
3=-2α
1+3α
3.
(Ⅰ)求矩阵A的特征值;
(Ⅱ)求矩阵A的特征向量;
(Ⅲ)求矩阵A
*-6E的秩.
[解] (Ⅰ)据已知条件,有
A(α
1,α
2,α
3)=(-α
1-3α
2-3α
3,4α
1+4α
2+α
3,-2α
1十3α
3)
记
及P
1=(α
1,α
2,α
3),那么由α
1,α
2,α
3线性无关知矩阵P
1可逆,且
,即A与B相似.
由矩阵B的特征多项式
得矩阵B的特征值是1,2,3.从而知矩阵A的特征值是1,2,3.
(Ⅱ)由(E-B)x=0得基础解系β
1=(1,1,1)
T,即矩阵B属于特征值λ=1的特征向量,由(2E-B)x=0得基础解系β
2=(2,3,3)
T,即矩阵B属于特征值λ=2的特征向量,由(3E-B)x=0得基础解系β
3=(1,3,4)
T,即矩阵B属于特征值λ=3的特征向量,那么令P
2=(β
1,β
2,β
3),则有
于是令
=(α
1+α
2+α
3,2α
1+3α
2+3α
3,α
1+3α
2+4α
3),
则有
所以矩阵A属于特征值1,2,3的线性无关的特征向量依次为
k
1(α
1+α
2+α
3),k
2(2α
1+3α
2+3α
3),k
3(α
1+3α
2+4α
3),k
i≠0(i=1,2,3).
(Ⅲ)由
从而
所以秩r(A
*-6E)=2.
8. 设离散型二维随机变量(X,Y)的取值为(x
i,y
j)(i,j=1,2),且P{X=x
2}=
,P{Y=y
1|X=x
2}=
,P{X=x
1|Y=y
1}=
,试求:
(Ⅰ)二维随机变量(X,Y)的联合概率分布;
(Ⅱ)X与Y的相关系数ρ
XY;
(Ⅲ)条件概率P{Y=y
j|X=x
1},j=1,2.
[分析] 依题意,随机变量X与Y的可能取值分别为x
1,x
2与y
1,y
2,且
又题设
于是有P{X=x
1|Y=y
1}=P{X=x
1},
即事件{X=x
1}与事件{Y=y
1}相互独立,因而{X=x
1}的对立事件}X=x
2}与{Y=y
2}独立,且{X=x
1}与{Y=y
1}的对立事件{Y=y
2}独立;{X=x
2}与{Y=y
2}独立,即X与Y相互独立.
[解] (Ⅰ)因X与Y独立,所以有
或
于是(X,Y)的联合概率分布为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知X与Y独立,因此它们的相关系数P
XY=0.
(Ⅲ)因X与Y独立,所以P{Y=y
j|X=x
1}=P{Y=y
j,j=1,2,于是有
9. 设X
1,X
2,…,X
n是来自总体X的简单随机样本,X的概率密度为
,-∞<x<+∞,A>0是未知参数.
(Ⅰ)求λ的矩估计量
(Ⅱ)求λ的最大似然估计量
[解] 由
(Ⅰ)由于X的一阶矩
,故考虑X的二阶矩
而样本的二阶矩为
,所以λ的矩估计量为
(Ⅱ)似然函数为
,取对数有
求导得
令
,从而λ的最大似然估计量为