一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
5. 函数u=xyz
2在条件x
2+y
2+z
2=4(x>0,y>0,z>0)下的最大值是
A B C D
C
[解析]
[分析二] 化为简单最值问题,
由条件解出x
2=4-x
2-y
2(0<x
2+y
2<4),代入表达式,转化为求
u=xy(4-x
2-y
2)
在区域D={ (x,y)|0<x
2+y
2<4}的最大值,
6. 若用代换y=z
m可将微分方程y'=ax
α+by
β(αβ≠0)化为一阶齐次方程
则常数α与β应满足的条件是
A B C D
A
[解析]
故应选(A).
8. 下列矩阵中
不能相似对角化的是
A B C D
C
[解析]
有n个线性无关的特征向量.记(C)项的矩阵为C,由
可知矩阵C的特征值为λ=1(三重根),而
那么n-r(E-C)=3-2=1.说明齐次线性方程组(E-C)x=0只有一个线性无关的解,亦
即λ=1只有一个线性无关的特征向量,所以(C)不能对角化.故选(C).
二、填空题1.
2. 设函数f(x)在点x=1的某邻域内有定义,且满足3x≤f(x)≤x
2+x+1,则曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程为______.
y=3x.
[解析] 在3x≤f(x)≤x
2+x+1中取x=1,可得f(1)=3.
3. 设函数f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数,且满足f'(0)=1,则
.
[解析] 所求极限是“∞-∞”型未定式,可通分化为
型未定式求极限,
4.
5. 已知当x>0与y>0时
则函数f(x,y)在点(x,y)=(1,1)处的全微分df|
(1,1)=______.
.
[解析]
6.
.
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1. 试证明当x>0时,存在θ(x)∈(0,1),使得
并且θ(x)为满足
的单调增加函数.
2. 设x>0,试证:2sinx+e
x-e
-x>4x.
[证明一] 令f(x)=2sinx+e
x-e
-x-4x(x>0),则
f(0)=0,f'(x)=2cosx+e
x+e
-x-4,f'(0)=0,
f''(x)= -2sinx+e
x-e
-x,f''(0)=0,
f'''(x)=-2cosx+e
x+e
-x.
[证明二]
[证明三] 当x>0时,e
x+e
-x>2>2cosx,在[0,x]依次积分得
e
x-e
-x>2sinx,
e
x+e
-x-2>-2cosx+2,即e
x+e
-x>4-2cosx,
e
x-e
-x>4x-2sinx,即2sinx+e
x-x>4x.
3. 试求椭圆
在点P
1(0,1)与P
2(2,0)处的曲率与曲率圆方程.
由此可得椭圆C在点P
1处的曲率
曲率圆的半径R
1=4. 由于椭圆C在点P
1处的切线为y=1,法线即为y轴,所以C在点P
1处的曲率圆中心在y轴上点P
1下方与点P
1距离为4处,即曲率圆中心为O
1(0,-3),曲率圆方程为x
2+(y+3)
2=16.
同理,因点P
2(0,2)在右半椭圆
上,从而
故椭圆C在点P
2处的曲率
曲率圆的半径
由于椭圆C在点P
2处的切线方程为x=2,法线即为x轴,所以C在点P
2处的曲率圆中心在x轴上点P
2左方与点P
2距离为
处,即曲率圆中心为
曲率圆方程为
4.
5.
6. 设函数f(x)(x≥0)连续可微,f(0)=1,已知曲线y=f(x),x轴,y轴及过点(x,0)且垂直于x轴的直线所围成的图形的面积与曲线y=f(x)在[0,x]上的弧长值相等,求f(x).
7.
又方程x
2+y
2,x
2+y
2=2y对应的极坐标方程分别为r=1,r=
8. 已知α
1=(1,3,5,-1)
T,α
2=(2,7,a,4)
T,α
3=(5,17,-1,7)
T,
(Ⅰ)若α
1,α
2,α
3线性相关,求a的值;
(Ⅱ)当α=3时,求与α
1,α
2,α
3都正交的非零向量α
4;
(Ⅲ)当α=3时,证明α
1,α
2,α
3,α
4可表示任一个4维列向量.
所以a=-3.
所以α
4=k(19,-6,0,1)
T,其中k≠0.
所以x
1α
1+x
2α
2+x
3α
3+x
4α
4=α恒有解,即任一4维列向量必可由α
1,α
2,α
3,α
4线性表出.
或者由(Ⅰ)知a=3时,α
1,α
2,α
3必线性无关,那么:若
k
1α
1+k
2α
2+k
3α
3+k
4α
4=0,
9. 已知A是3阶矩阵,α
1,α
2,α
3是线性无关的3维列向量,满足Aα
1=-α
1-3α
2-3α
3,Aα
2=4α
1+4α
2+α
3,Aα
3=-2α
1+3α
3.
(Ⅰ)求矩阵A的特征值;
(Ⅱ)求矩阵A的特征向量;
(Ⅲ)求矩阵A
*-6E的秩.
据已知条件,有
得矩阵曰的特征值是1,2,3.从而知矩阵A的特征值是1,2,3.
(Ⅱ)由(E-B)x=0得基础解系β
1=(1,1,1)
T,即矩阵B属于特征值λ=1的特征向量,
由(2E-B)x=0得基础解系β
2=(2,3,3)
T,即矩阵B属于特征值λ=2的特征向量,
由(3E-B)x=0得基础解系β
3=(1,3,4)
T,即矩阵B属于特征值λ=3的特征向量,
则有
所以矩阵A属于特征值1,2,3的线性无关的特征向量依次为