一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1. 当x→0时,f(x)=x-sinax与g(x)=x
2ln(1-bx)是等价无穷小,则
A B C D
A
[解析] f(x)=x-sinax,g(x)=x
2ln(1-bx)为等价无穷小,则
,由洛必达法则只需
.
因为
,所以,
,从而a=1.
再由
,得
.故应选(A).
[评注] 本题主要考察等价无穷小的概念、无穷小等价代换、洛必达法则及重要结论:
存在,若
,则
.
3. 设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是
(A) 若
存在,则f(0)=0.
(B) 若
存在,则f(0)=0.
(C) 若
存在,则f′(0)=0.
(D) 若
存在,则f′(0)=0.
A B C D
D
[解析] 本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系.由于题设条件含有自象函数,本题最简便的方法是用赋值法求解,即取符合题设条件的特殊函数f(x)去进行判断,然后选择正确选项.
取
,则
,但f(x)在x=0不可导,故选(D).
事实上,在(A),(B)两项中,因为分母的极限为0,所以分子的极限也必须为0,则可推得f(0)=0.在(C)中,
存在,则f(0)=0,f′(0)=
,所以(C)项正确,故选(D).
[评注] 对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题,用赋值法求解往往能收到奇效.
4. 设f(x,y)与
均为可微函数,且
,已知(x
0,y
0)是f(x,y)在约束条件
下的一个极值点,下列选项正确的是
- A.若f′x(x0,y0)=0,则 f′y(x0,y0)=0.
- B.若f′x(x0,y0)=0,则f′y(x0,y0)≠0.
- C.若f′x(x0,y0)≠0,则f′y(x0,y0)=0.
- D.若f′x(x0,y0)≠0,则f′y(x0,y0)≠0.
A B C D
D
[解析] 利用拉格朗日函数
在(x
0,y
0,λ
0)(λ
0是对应x
0,y
0的参数λ的值)取到极值的必要条件即可.
作拉格朗日函数F(x,y,λ)=f(x,y)+f(x,y),并记对应x
0,y
0的参数λ的值为λ
0,则
消去λ
0,得
,
整理得
.因为
),
若f′
x(x
0,y
0)≠0,则f′
y(x
0,y
0)≠0.故选(D).
[评注] 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法.
6. 设二阶矩阵
,若A的伴随矩阵的秩等于1,则必有
- A.a=b或a+2b=0
- B.a=b或a+2b≠0
- C.a≠b且a+2b=0
- D.a≠b且a+2b≠0
A B C D
C
[解析] 由伴随矩阵A
*秩的公式
可见
.若a=b易见r(A)≤1.故(A)(B)均不正确.
由于
|A|=(a+2b)(a-b)
2 当a≠b,a+2b=0时,一方面A中有2阶子式
而又有|A|=0故秩r(A)=2.故应选C.
7. 设f
1(x)为标准正态分布的概率密度,f
2(x)为[-1,3]上均匀分布的概率密度,若
为概率密度,则a,b应满足
- A.2a+3b=4.
- B.3a+2b=4.
- C.a+b=1.
- D.a+b=2.
A B C D
A
[解析] 根据概率密度函数的性质:
.即
.
f
1(x)为标准正态分布的概率密度,其对称中心在x=0处,故
f
2(x)为U[-1,3]分布的概率密度,即
,故
所以
,即2a+3b=4.
二、填空题1. 曲线
的斜渐近线方程为______.
[解析] 本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.
因为
于是所求斜渐近线方程为
.
[评注]如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线,是基本要求,应熟练掌握.这里应注意两点:1.当存在水平渐近线时,不需要再求斜渐近线;2.若当z→∞时,极限
不存在,则应进一步讨论x→+∞或x→∞的情形,即在右或左侧是否存在斜渐近线.
2.
______.
[分析]利用奇函数在对称区间上的积分性质以及定积分的几何意义简化计算.
令x-1=t,则
.应填
.
3. 若二阶常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=(C
1+C
2x)e
x,则非齐次方程y″+ay′+by=x满足条件y(0)=2,y′(0)=0的解为y=______.
y=-xex+x+2
[解析] 由二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y=(C1+C2x)ex,得对应特征方程的两个特征根为λ1=λ2=1,故a=-2,b=1;
对应非齐次微分方程为y″-2y′+y=x,设其特解为y*=Ax+B,代入得-2A+Ax+B=x,有A=1,B=2.
所以特解为y″=x+2.
因而非齐次微分方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2,把y(0)=2,y′(0)=0代入,得C1=0,C2=-1.所求特解为y=-xex+x+2.
[评注] 此题是通常二阶常系数线性微分方程解的结构和形式的考察.
4. 设f(u,v)是二元可微函数,z=f(x
y,y
x),则
______.
f′1·yxy-1+f′2·yxlny
[解析] 本题为二元复合函数求偏导,直接利用公式即可.
利用复合函数的求导公式,可直接得出
[评注] 二元复合函数求偏导时,最好设出中间变量,注意计算的正确性.
5. 二次型x
TAx=x
21+4x
22+4x
23-4x
1x
2+4x
1x
3-8x
2x
3的规范形是 ______.
y21
[解析] 二次型矩阵
因为秩r(A)=1有|λE-A|=λ
3一9λ
2知矩阵A的特征值为9,0,0.
6. 设随机变量X和Y的联合概率分布为
则X
2与Y
2的协方差cov(X
2,Y
2)______.
-0.02
[解析] 由于cov(X
2,Y
2)=EX
2Y
2-EX
2·EY
2,其中
EX
2=0.6,EY
2=0.5,EX
2Y
2=0.28,
所以cov(X
2,Y
2)=0.28-0.6×0.5=-0.02.
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1. 证明
.
[证明] 令
,则
当-1<x<1时,f″(x)≥2>0,所以f′(x)单调增加.于是,
当-1<x<0时,f′(x)<f′(0)=0,于是f(x)在-1<x<0上单调减少,因此有f(x)>f(0)=0,即
当0<x<1上时,f′(x)>f′(0)=0,于是f(x)单调增加,因此有f(x)>f(0)=0,即
综上所述得,当-1<x<1时,
;(等号在x=0时成立).
2. 已知曲线
求曲线C距离xOy面最远和最近的点.
[分析] 点(x,y,z)到xOy面的距离为|z|,故求C上距离xOy面最远点和最近点的坐标,等价地求函数H=z
2在条件x
2+y
2-2z
2=0与x+y+3z=5的最大值点和最小值点.
[解] 设P(x,y,z)为曲线C上的任意一点,则点P到xOy平面的距离为|z|,问题转化为求x
2+y
2在约束条件x
2+y
2-2z
2=0与x+y+3z=5下的最值点.令拉格朗日函数为
F(x,y,z,λ,μ)=x
2+y
2+λ(x
2+y
2-2z
2)+μ(x+y+3z-5)
解方程组
得x=y,从而
,
得可能极值点:
又
.
根据几何意义,曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点,故所求的点依次为(-5,-5,5)和(1,1,1).
[评注] 本题考察两个约束条件
下的函数u=(x,y,z)的条件极值问题,可类似地构造拉格朗日函数
解出可能极值点后,直接代入目标函数计算函数值再比较大小确定相应的极值(或最值)即可.
3. 设区域D={(x,y)|x
2+y
2≤1,x≥0},计算二重积分
[分析] 由于积分区域D关于x轴对称,故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分,又积分区域为圆域的一部分,则将其化为极坐标系下累次积分即可.
[解] 积分区域D如右图所示.因为区域D关于x轴对称,
函数
是变量y的偶函数,
函数
是变量y的奇函数.
则
[评注] 只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题,就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性,以便简化计算.
4. 求幂级数
的收敛区间与和函数f(x).
[分析] 先求收敛半径,进而可确定收敛区间.而和函数可利用逐项求导得到.
[解] 因为
,所以x
2<1时原级数绝对收敛,当x
2>1时,原级数发散,因此原级数的收敛半径为1,收敛区间为(-1,1).
记
,
则
,
.
由于S(0)=0,S′(0)=0,
所以
.
又
,
从而
.
[评注] 本题求收敛区间是基本题型,应注意收敛区间一般指开区间.而幂级数求和尽量将其转化为形如
或
幂级数,再通过逐项求导或逐项积分求出其和函数.
5. 已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x
2+y
2=2x到点(2,0),再沿圆周x
2+y
2=4到点(0,2)的曲线段.
计算曲线积分
.
[分析] 通过补线段后利用Green公式计算即可.
[解] 设点O(0,0),A(2,0),B(0,2),补充线段
,且设由曲线弧
,
围成的平面区域为D,则由Green公式有
6. 设
已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解.
(Ⅰ)求λ,a;
(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解.
[解] (Ⅰ)因为方程组Ax=b有2个不同的解,故
.
由
于是λ=1或λ=-1.
当λ=1时,
,方程组Ax=b无解,舍去.
当λ=-1时,对Ax=b的增广矩阵作初等行变换
可见a=-2时,
,;方程组Ax=b有无穷多解.故λ=1,a=-2.
(Ⅱ)当λ=-1,a=-2时
所以方程组Ax=b的通解为
k为任意常数.
7. 已知二次型f(x
1,x
2,x
3)-(1-a)x
21+(1-a)x
22+2x
23+2(1+a)x
1x
2的秩为2.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求正交变换x=Qy把f(x
1,x
2,x
3)化为标准形;
(Ⅲ)求方程f(x
1,x
2,x
3)=0的解.
由于二次型f的秩为2,即二次型矩阵
的秩为2,所以
,得a=0.
(Ⅱ)当a=0时,
得到矩阵A的特征值是λ
1=λ
2=2,λ
3=0.
对于λ=2,由(2E-A)x=0
得特征向量a
1=(1,1,0)
T,a
2=(0,0,1)
T.
对λ=0由(OE-A)x=0
得特征向量a
3=(1,-1,0)
T.
由于a
1,a
2,a
3已两两正交,单位化有
.
令Q=(γ
1,γ
2,γ
3)则Q是正交矩阵.那么经正交变换x=Qy,有
f(x
1,x
2,x
3)=2y
21+2y
22.
(Ⅲ)方程f(x
1,x
2,x
3)=x
21+x
22+2x
23+2x
1x
2=(x
1+x
2)
2+2x
23=0
即
所以方程的通解是k(1,-1,0)
T,k为任意常数.
8. 设随机变量X的概率密度为
令Y=X
2,F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,求:
(Ⅰ)Y的概率密度f
Y(y);
(Ⅱ)
.
[分析与解答] (Ⅰ)用定义先求Y的分布函数F
Y(y),进而求得f
Y(y).已知Y=X
2,故F
Y(y)=P{X
2≤y},当y≤0时F
Y(y)=0,由题设知
P{-1<X<2}=P{-1<X<0}+P{0≤X<2}=1
所以当y>0时,
故当
,即0<y<1.(此时
)
当
,即1≤Y<4.(此时
)
当
,即y≥4(此时
)
F
Y(y)=P{-1<X<2}=1.
综上得
(Ⅱ)
.
[评注] 注意应用P{-1<X<2}=1,从而有F
Y(y)=P{X
2≤y,-1<X<2},并借助于图形来确定Y的取值范围.对于概率密度是分段函数的问题,这种确定取值范围的方法经常被用到.
9. 设总体X的概率密度为
其中参数θ(0<θ<1)未知,X
1,X
2,…,X
n是来自总体X的简单随机样本,
是样本均值.
(Ⅰ)求参数θ的矩估计量
;
(Ⅱ)判断
是否为θ
2的元偏估计量,并说明理由.
[分析与解答] (Ⅰ)求唯一参数θ的矩估计量
,只要令样本均值
等于总体的期望E(X)就可以求得.
现
,令
,解得
.所以参数θ的矩估计量
.
(Ⅱ)判断
是否为θ
2的无偏估计量,只要判断
是否成立?
.
由于
,且有
所以,
因此,
不是θ
2的元偏估计量.
[评注] (Ⅱ)的计算可简化为
不过这样的验证在考试中是不太容易做到的.