一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1. 设
,则f(x)在x=0处
- A.不连续.
- B.连续但不可导.
- C.可导且f′(0)=0.
- D.可导但f′(0)≠0.
A B C D
C
[解析] 当x→0时,
为无穷小量,
为有界变量,则
f(x)在x=0处连续,(A)不正确.
当x→0时,
为无穷小量,
为有界变量,则
从而,f′(0)=0,故应选(C).
2. 设数列{a
n}单调减少,
,则幂级数
的收敛域为
- A.(-1,3).
- B.[-1,3).
- C.[0,2).
- D.(0,2].
A B C D
B
[解析] 当x=-1时幂级数
.
由于
,则
,又数列{a
n}单调减少,由莱布尼兹准则知交错级数
收敛,且是条件收敛,则x=-1为幂级数
的收敛区间的左端点,右端点应为x=3,当x=3时,原幂级数
.
由
知,级数
发散,则幂级数
的收敛域为[-1,3),故应选(B).
[分析二] 由
知
则幂级数
的收敛半径为R=2
当x=-1时,级数
收敛,当x=3时,级数
发散(理由同分析一).
[评注] 这里用到一个常用的结论:“若幂级数
在.x=x
1处条件收敛,则x=x
1为幂级数
的收敛区间的一个端点”.
3. 函数
在点(0,0)处
- A.不连续.
- B.偏导数不存在.
- C.可微.
- D.偏导数连续.
A B C D
C
[解析] 显然
则f(x,y)在点(0,0)处连续,又
同理f
y(0,0)=0
则f(x,y)在点(0,0)处可微,故应选(C).
[评注] 本题中的f(x,y)在(0,0)点的偏导数不连续,事实上
不存在,由于
不存在(沿x轴趋向于(0,0)点时极限不存在).
5. 设α
1,α
2,α
3,α
4,α
5是4维向量,下列命题中正确的是
- A.如果α1,α2,α3,α4线性相关,那么k1,k2,k3,k4不全为0时,有k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0.
- B.如果α1,α2,α3,α4线性相关,那么当k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0时,有k1,k2,k3,k4不全为0.
- C.如果α5不能由α1,α2,α3,α4线性表出,那么α1,α2,α3,α4必线性相关.
- D.如果α1,α2,α3,α4线性相关,那么α5不能由α1,α2,α3,α4线性表出.
A B C D
C
[解析] 因为α1,α2,α3,α4,α5是5个4维向量它必线性相关.
而当α1,α2,α3,α4线性无关时,α5必可由α1,α2,α3,α4线性表出.
现在αs不能由α1,α2,α3,α4线性表出,所以α1,α2,α3,α4必线性相关.
即命题(C)正确.
按定义当α1,α2,α3,α4线性相关时,存在不全为0的k1,k2,k3,k4,使k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0,但不是对任意不全为0的k1,k2,k3,k4均有k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0,故命题(A)不正确.
因为0α1+0α2+0α3+0α4=0恒成立,所以命题(B)不正确.
当α1,α2,α3,α4线性无关时,α5一定能由α1,α2,α3,α4线性表出,当α1,α2,α3,α4线性相关时,α5也有可能由α1,α2,α3,α4线性表出(例如α5=α1),故命题(D)不正确.
8. 已知随机变量X与Y都服从正态分布N(μ,σ
2),如果P{max(X,y)>μ}=a(0<a<1),则P{min(X,Y)≤μ}等于
A B C D
C
[解析]
选择(C).
我们也可以这样考虑,由于
其中A={X≤μ},B={Y≤μ},已知X~N(μ,σ
2),Y~N(μ,σ
2),
所以
,
选择(C).
[说明] 本题可以有如下的变式:
已知随机变量X与Y都服从正态分布N(μ,σ
2),且P{X>0,Y>2μ}=a,则P{X≤0,Y≤2μ}=______.
记A={X>0},B={X>2μ},由题设知
故
[评注] 选择题可以不要求推导过程,本题X,Y不一定独立,但如果X,Y独立结论一定也对,故为简化不妨假定x,y独立.这时,
而
所以答案必为(C).
如果熟悉二维正态分布的对称性,这类题可以直接从对称性判断.
二、填空题1. 设y=(x-1)(x-2)
2(x-3)
3(x-4)
4,则y′″(3)=______.
12
[解析] 令
则
设
在x=3处的幂级数展开式为
则
y-(x-3)
3[a
0+a
1(x-3)+…+a
n(x-3)
n+…]
=a
0(x-3)
3+a
1(x-3)
4+…+a
n(x-3)
n+3+…
从而
y′″t(3)=a
0·3!=6a
0 显然
,故y′″(3)=12.
[评注] 由本题的分析可得到一个常用的结论:若
在x
0的某邻域内可展开为幂级数,
(n为正整数),则
y
(k)(x
0)=0 k=1,2,…,n-1
2.
______.
当n为偶数时为0,当n为奇数时为
[解析] 当n为偶数时,t
ne
-t2为偶函数,则
为奇函数,从而
为奇函数,则
当n为奇数时,
[评注] 本题用到两个常用的结论:(1)设f(x)连续,则当f(x)为奇函数时,
为偶函数,当f(x)为偶函数时,
为奇函数.(2)设f(x)连续,则
.
3. 设D={(x,y)|x
2+y
2≤2x+2y},则
______.
5π
[解析] 积分域x
2+y
2≤2x+2y为圆域(x-1)
2+(y-1)
2≤2
令x-1=u,y-1=v,则
4. 设z=f(xy,x
2+y
2),其中f(u,v)有二阶连续偏导数.则
______
f′1+xyf″11+4xyf″22+2(x2+y2)f″12
[解析]
5. 已知向量组α
1=(1,2,0,1)
T,α
2=(2,-1,1,-1)
T,α
3=(3,a,1,0)
T,α
4=(1,2,3,a+3)
T,α
5=(4,3,a,1)
T的秩为3.则其极大线性无关组是______.
α1,α2,α4
[解析] 向量组α
1,α
2,α
3,α
4,α
5的秩也就是矩阵A=(α
1,α
2,α
3,α
4,α
5)的秩,对矩阵作初等行变换,有
当a=1时r(A)=3 极大线性无关组是α
1,α
2,α
4.
6. 甲、乙两人各自独立地向同一目标重复射击两次,已知每次射击甲命中目标概率为p(0<p<1),乙命中目标的概率为0.6,则使甲、乙两人命中目标次数相等的概率达到最大的p=______.
.
[解析] 用X,Y分别表示两次射击甲,乙击中目标的次数,则X与Y独立,X~B(2,p),Y~B(2,0.6).事件“两次射击甲、乙两人命中目标次数相等”={X=Y}={X=0,Y=0}∪{X=1,Y=1}∪{X=2,Y=2},依题意P应使P{X=Y)达到最大.
由于
P{X=Y}=P{X=0}P{Y=0}+P{X=1}P{Y=1}+P{X=2}P{Y=2}
=(1-p)
2×0.4
2+C
12p(1-p)C
12×0.6×0.4+p
2×0.6
2 =0.16(1-p)
2+2p(1-p)×0.48+0.36p
2 记
,令
,解得
,
又
,所以当
时,“甲、乙两人命中目标次数相等”的概率达到最大.
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1. 求极限
.
[解]
2. 设f(x)为连续函数,
,当x→0时
与bx
k为等价无穷小,其中常数b≠0,k为某正整数.求k与b的值及f(0),f′(0).
[解] 令x-t=u,则dt=-du
由
知
从而,
,且
,此时
3. 计算线积分
,其中L为从点A(-π,0)沿曲线y=sinx到点B(π,0)的弧段.
[解] 补线用格林公式,如右图,补线段
,则L与
围成两块平面域D
1和D
2,则
[评注] 补线段
后对积分
用格林公式时应注意,曲线L和线段
围成了两块区域,分别为D
1和D
2,而D
1的边界曲线为逆时针方向(用格林公式取正号),D
2的边界曲线为顺时针(用格林公式取负号).这里容易出现错误,请务必注意.
4. 设f(x)在[0,+∞)上连续,且
收敛,令
,证明:
收敛.
[证明] 令nx=t,则
从而
又由于
收敛,设
,则
当a>0时,级数
收敛,故级数
收敛.
[评注] 本题在证明过程中用到一个重要的积分不等式,即Cauchy积分不等式
5. 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1),常数a>0与b>0.求证:存在满足0<ξ<η<1的ξ与η使得af′(ξ)+bf′(η)=0.
[分析] 本题属中值定理的证明题中要证存在两个不同点ξ和η,这种问题应将[0,1]分为两个区间[0,c]和[c,1],然后在这两个区间上分别用拉格朗日中值定理.问题的关键在于c点的选取,为此,利用拉格朗日中值定理得
从而有
若能选得c∈(0,1),使
,则必有af′(ξ)+bf′(η)=0,问题得以证明.显然
.
[证] 令
,在[0,c]和[c,1]上分别对f(x)用拉格朗日定理得
此时,
[评注] 题给出了此类问题求解的一种常用方法.
6. 设二次型
x
TAx=ax
21+2x
22-x
23+8x
1x
2+2bx
1x
3+2cx
2x
3 矩阵A满足AB=0,其中
(Ⅰ)用正交变换化二次型x
TAx为标准形,并写出所用正交变换.
(Ⅱ)判断矩阵A和B是否合同.
AB=0知λ=0是矩阵A的特征值且矩阵B的列向量(1,0,1)
T是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量.故有
于是
由矩阵A的特征多项式
,
得矩阵A的特征值为:6,0,-6.
由(6E-A)x=0得矩阵A属于特征值6的特征向量为(1,2,-1)
T 由(-6E-A)x=0得矩阵A属于特征值一6的特征向量为(-1,1,1)
T实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交,单位化有
那么令
.
则有x
TAx=y
1∧y=6y
21-6y
23.
(Ⅱ)不合同,因为x
TAx=6y
21-6y
23,x
TBx=(x
1+x
3)
2=y
21,它们的正负惯性指数不一样,所以不合同.
7. 设A是4阶非零矩阵,α
1,α
2,α
3,α
4是非齐次线性方程组Ax=b的不同的解
(Ⅰ)如果α
1,α
2,α
3线性相关,证明α
1-α
2,α
1-α
3也线性相关;
(Ⅱ)如果α
1,α
2,α
3,α
4线性无关,证明α
1-α
2,α
1-α
3,α
1-α
4是齐次方程组Ax=0的基础解系.
[证] (Ⅰ)因为α
1,α
2,α
3线性相关,故有不全为0的k
1,k
2,k
3使得k
1α
1+k
2α
2+k
3α
3=0,那么(k
1+k
2+k
3)α
1-k
2(α
1-α
2)+k
3(α
1-α
3).
因为α
1-α
2,α
1-α
3是齐次方程组Ax=0的解,而α。是非齐次方程组Ax=b的解,所以α
1不能由α
1-α
2,α
1-α
3线性表出,故必有k
1+k
2+k
3=0.
从而k
2(α
1-α
2)+k
3(α
1-α
3)=0.此时必有k
2,k
3不全为0(否则k
1,k
2,k
3全为0),即α
1-α
2,α
1-α
3线性相关.
(Ⅱ)由方程组的性质知α
1-α
2,α
1-α
3,α
1-α
4是Ax=0的解.
当k
1(α
1-α
2)+k
2(α
1-α
3)+k
3(α
1-α
4)=0时
即(k
1+k
2+k
3)α
1-k
1α
2-k
2α
3-k
3α
4=0
因为α
1,α
2,α
3,α
4线性无关,故
即必有k
1-k
2-k
3=0.从而α
1-α
2,α
1-α
3,α
1-α
4是Ax=0的3个线性无关的解.
那么n-r(A)≥3即r(A)≤1,又A≠0有r(A)≥1,从而r(A)=1.
因此α
1-α
2,α
1-α
3,α
1-α
4是Ax=0的基础解系.
8. 已知X服从参数为1的指数分布,Y=|X|,试求:
(Ⅰ)(X,Y)的分布函数F(x,y);
(Ⅱ)关于X和关于Y的边缘分布函数F
X(x)和F
Y(y);
(Ⅲ)X,Y的相关系数ρ
XY.
[分析与解答](Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
,DY=EY
2-(EY)
2=EX
2-(EX)
2=DX.
故ρXY=1.
[评注] 本题的关键在于X~E(1),而x的密度函数为
X取负值的概率为0,故实际求解过程中把|X|就可以看成为X.
9. 已知X
1,X
2,…,X
n是来自正态总体N(0,σ
2)容量为n(n>1)的简单随机样本,样本均值与方差分别为
.记
,试求统计量
的期望
与方差
.
[分析与解答] 由题设知总体X~N(0,σ
2),故
χ
2(n-1),且
与S
2相互独立.由此得
,根据χ
2分布性质得:
,从而有
,又
与S
2独立,所以
[评注] 解答本题时我们应用了下面两个重要的结论:(1)如果总体X~N(μ,σ
2),样本均值与方差分别为
与S
2,则
,
与S
2相互独立;(2)如果
,则EX=n,DX=2n.