一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1. 已知当x→0时,f(x)=x
3-sinax
3与
是等价无穷小,则
(A) a=b=1. (B) a=2,b=1.
. (D) a=2,b=2.
A B C D
C
[解析] 当a=1时,
(当x→0时)即f(x)是x的9阶无穷小.
当a≠1时,
即f(x)是X的3阶无穷小.
而
时是x的3阶无穷小,不论b取何值不可能是x的9阶无穷小,则b=1,a≠1
则
.
[评注] 本题用到一个常用的结论:当x→0时,
.
2. 设
,则下列结论错误的是
(A)
与
至少有一个成立.
(B) {x
n}与{y
n}中至少有一个为无界变量.
(C) 若{x
n}是无穷小量,则{y
n}必为无界变量.
(D) 若
,则{y
n}必为无穷大量.
A B C D
A
[解析] 直接法.
令
则
但
和
都不成立,则(A)是错误的.
[分析二]排除法.
如果{x
n}与{y
n}都有界,则{x
ny
n}有界,与题设
矛盾,则(B)是正确的.
若{y
n}为有界变量,由题设{x
n}是无穷小量,则{x
ny
n}为无穷小量,与题设
矛盾,则(C)正确.
若
,则
(由于
,则n充分大时x
n≠0)=∞
则(D)是正确的.
排除(B)(C)(D),故应选(A).
3. 设函数f(x)连续,且
,则
- A.F″(0)不存在.
- B.F″(0)存在但不为零.
- C.F(x)在x=0处取极大值.
- D.F(x)在x=0处取极小值.
A B C D
C
[解析] 由
知
即
则
又
,则
从而有f(0)=0,且由极限保号性知,存在δ>0,当x∈(0,δ)时,f(x)<0.
又F(0)=0,
(当0<|x|<δ时)
则F(x)在x=0处取极大值.
4. 设曲面
,并取上侧,则不等于零的积分为
A B C D
B
[解析] 由于曲面∑关于yOx坐标面前后对称,而函数x
2关于变量x是偶函数,则
同理,曲面∑关于坐标面xOz左右对称,而函数z
2和z关于变量y都是偶函数,则
矛盾,则(C)正确.
若
,则
(由于
,则n充分大时x
n≠0)=∞
则(D)是正确的.
排除(B)(C)(D),故应选(A).
5. 设矩阵A=(α
1,α
2,α
3,α
4)是5×4矩阵,η
1=(1,2,-1,3)
T,η
2=(3,2,5,3)
T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系.下列命题中错误的命题是
- A.α1,α2,α3线性相关.
- B.α3,α4线性无关.
- C.α4可由α1,α3线性表示.
- D.α2可由α3,α4线性表示.
A B C D
C
[解析] A是5×4矩阵,齐次方程组Ax=0的基础解系是两个向量,故n=r(A)=2,即r(A)=r(α
1,α
2,α
3,α
4)=2.故(A)必正确.
由Aη
1=0,Aη
2=0可得
α
1+2α
2-α
3+3α
4=0,3α
1+2α
2+5α
3+3α
3=0
两式分别相减、相加可得
α
1+3α
3=0,2α
1+2α
2+2α
3+3α
4=0
如果α
3,α
4线性相关,则α
4=kα
3,又α
1=-3a
3,从而
与r(α
1,α
2,α
3,α
4)=2相矛盾,故(B)正确.
因为α
1=-3α
3,且α
3,α
4线性无关.故α
4必不能由α
1,α
3线性表出,即(C)不正确.
因为α
3,α
4线性无关,α
2,α
3,α
4线性相关,所以α
2必可由α
3,α
4线性表出.
6. 设
为可逆矩阵,B是3阶矩阵,满足
,则矩阵B的特征值为
- A.1,2,4.
- B.2,2,-2.
- C.-1,2,-4.
- D.2,-2,-2.
A B C D
B
[解析] 矩阵A行变换可得到矩阵AB,易见
E
3(2)E
2(-1)E
1(-4)E
12A=AB
即
由于矩阵A可逆,有
从而
,相似矩阵B,C有相同的特征值,又|λE-C|=
故矩阵B的特征值为2,2,-2.
7. 设随机变量X
i~B(1,p
i),(i=1,2),它们的分布为F
i(x).已知有一点x=x
0处 F
1(x
0)<F
2(x
0),则
- A.p1<p2.
- B.p1>p2.
- C.p1=p2.
- D.p1+p2=1.
A B C D
B
[解析] X
i的分布
,
分布函数为
现有F
1(x
0)<F
2(x
0)则x
0必满足0≤x
0<1.
F
1(x
0)<F
2(x
0),即1-p
1<1-p
2,故p
1>p
2.
8. 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),设X~N(0,1),且Y=X,已知
,其中a,b为常数,则必有
- A.a=0,b=0.
- B.a=0,b>0.
- C.a=0,b<0.
- D.min(a,b)=0.
A B C D
D
[解析] 设标准正态分布的分布函数为Φ(x),则
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x,X≤y}
=P{X≤min(x,y))=Φ(min(x,y))
所以,
,即min(a,b)=0.
二、填空题1. 已知曲线y=f(x)与y=sinx在原点处相切,则
______.
[解析] 由曲线y=f(x)与y=sin2x在原点处相切知f(0)=0,f′(0)=2.
2. 设∑为圆柱面x
2+y
2=4(0≤z≤1),则
______.
8π
[解析] 由于曲面∑关于xOz面左右对称,而y关于变量y为奇函数,则
由变量对称性知
则
3. 函数f(x)=ln|(x-1)(x-2)…(x-2013)|的驻点个数为______.
2012
[解析]
令g(x)=(x-1)(x-2)…(x-2013)
则f(x)驻点个数即为g′(x)零点个数,由于g(x)有2013个零点(即x=1,x=2,…x=2013),由罗尔定理知g′(x)至少有2012个零点,而g(x)为2013次多项式,则g′(x)是2012次多项式,则方程g′(x)=0最多2012个根,从而g′(x)有2012个零点,故函数f(x)一in|(x-1)(x-2)…(x-2013)|的驻点个数为2012.
4. 设L是单位圆周x
2+y
2=1,n为L的外法线向量,
y
4),则
______.
[解析]
为函数u沿曲线x
2+y
2=1的外法线方向的方向导数,则
5. 已知
,则矩阵C=______.
[解析] C
TAC=B即二次型x
TAx经坐标变换x=Cy化为二次型y
TBy显然,x
TAx=z
21+4x
22-3x
23+4x
1x
2,y
TBy=y
21-y
23由配方法知
那么令
即有x
TAx=y
21-y
23,
所以
.
本题也可先求A的特征值,特征向量化二次型为标准形.然后再化为规范形来求坐标变换,但计算量会大.
6. 设来自总体X的简单随机样本X
1,X
2,…,X
n,总体X的概率分布为
,其中
,则参数θ的矩估计量为______.
[解析] 一个参数θ的矩估计为
.
EX=-1·2θ+0+1·(1-3θ)=1-5θ.
,解得
.
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1. 求极限
[分析] 这是一个n项和的数列极限,常用的方法有两种,一种是夹逼原理,另一种是定积分的定义.
[解] 由于当n→∞时,
,则
又
由于
,
则
.
故
.
[评注] 本题主要考祭利用夹逼原理和定积分定义求极限.本题的关键是要将这两种方法结合起来问题才能得到解决.
2. 设f(x)二阶可导,且
,求
并讨论
的连续性.
[分析] 首先可利用
,去掉右端积分号,将
直接用f(x)表示出来,然后再求
并讨论
的连续性.
[解] 当x≠1时,令1+(x-1)t=u,
则
由
可知,f(1)=0,f′(1)=0
则当x≠1时,
当x=1时,
从而
当x≠1时,
当x=1时,
由于f(x)二阶可导,由
的表达A式可知,
在x≠1处连续,又
而
则
则
在x=1处连续,
故
处处连续.
[评注] 本题是一道综合题,主要考查定积分换元法,分段函数在分界点处的连续性,可导性及洛必达法则.这里应注意,为求(*)式右端极限,这里不能用洛必达法则,也就是说以下做法是错误的.
由于原题只假设f(x)二阶可导,此时极限
不一定存在.
3. 设函数
,其中
,且函数z=z(x,y)满足
. 求证
.
[分析] 由题设知z是x和y的函数,而x和y都是u和v的函数.
[解] 由
及u=x知
该式两端对甜求偏导得
显然
,等式
,即
两端对u求偏导得
则
从而
原题得证.
[评注] 本题主要考察复合函数求导法和隐函数求导法.
4. 设曲线L过点(1,1),L上任一点P(x,y)处的切线交z轴于T,且|PT|=|OT|,试求曲线L的方程.
[解] 设曲线L的方程为y=f(x),则曲线L在点P(x,y)处的切线方程为
Y-f(x)=f′(x)(X-x)
令Y=0,得
由|PT|=|OT|知
整理得
即
令
,则y=xu,y′=u+xu′
即
即x
2+y
2=Cy
由于该曲线过(1,1)点,则1
2+1
2=C,C=2
所求曲线方程为
x
2+y
2=2y.
[评注] 本题主要考察微分方程在几何上的应用.
5. 设f(x,y)在圆域x
2+y
2≤1上二阶连续可微,且满足
e
-(x2+y2),计算积分
.
[分析] 要将圆域x
2+y
2≤1上的二重积分
与已知条件
联系起来,可考虑圆周x
2+y
2=1上的对坐标的线积分且使用格林公式.
[解] 设C为单位圆x
2+y
2=1沿逆时针方向.显然
设D为圆域x
2+y
2≤1,则由格林公式知
则
6. 已知A=(α
1,α
2,α
3,α
4)是四阶矩阵,α
1,α
2,α
3,α
4是四维列向量,若方程组Ax=β的通解是(1,2,2,1)
T+k(1,-2,4,0)
T,又B=(α
3,α
2,α
1,β-α
4),求方程组Bx=3α
1+5α
2-α
3的通解.
[解] 由方程组Ax=β的解的结构,可知
r(A)=r(α
1,α
2,α
3,α
4)=3,
α
1+2α
2+2α
3+α
4=β,α
1-2α
2+4α
3=0.
因为B=(α
3,α
2,α
1,β-α
4)=(α
3,α
2,α
1,α
1+2α
2+2α
3),且α
1,α
2,α
3线性相关,而知r(B)=2.
由
,知(-1,5,3,0)
T是方程组Bx=3α
1+5α
2-α
3的一个解.
又
知(4,-2,1,0)
T,(2,-4,0,1)
T是Bx=0的两个线性无关的解.
故 Bx=3α
1+5α
2-α
3的通解为
(-1,5,3,0)
T+k
1(4,-2,1,0)
T+k
2(2,-4,0,1)
T,其中k
1,k
2是任意常数.
[评注] 本题考查抽象线性方程组的求解,涉及解的性质,解的结构,矩阵秩的判定等问题.
7. 已知A是3阶实对称矩阵,α
1=(1,-1,-1)
T,α
2=(-2,1,0)
T是齐次方程组Ax=0的解,又(A-6E)α=0,α≠0.
(Ⅰ)求α和二次型x
TAx表达式.
(Ⅱ)用正交变换X=Qy化二次型x
TAx为标准形并写出所用坐标变换.
(Ⅲ)求(A-3E)
6.
由Aα
1=0=0α
1,Aα
2=0=0α
2 知λ
1=λ
2=0是矩阵A的特征值,α
1,α
2是矩阵A属于特征值λ=0的线性无关的特征向量.
因为Aα=6α,α≠0.所以λ=6是A的特征值.设α=(x
1,x
2,x
3)
T,由于实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交.于是
解出α=(1,2,-1)
T 由A(α
1,α
2,α)=(0,0,6α)
得A=(0,0,6α)(α
1,α
2,α)
-1 故x
TAx=x
21+4x
22+x
23+4x
1x
2-2x
1x
3-4x
2x
3.
(Ⅱ)令β
1=α
1.
.
单位化有
那么令
有x
TAx=y
TΛy=6y
23.
(Ⅲ)因为
有
从而 Q
-1(A-3E)
6Q=(Λ-3E)
6=3
6E
所以 (A-3E)
6=Q(3
6E)Q
-1=3
6E.
8. 设二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y).已知条件概率密度
,和
求(Ⅰ)常数A和B;
(Ⅱ)X和Y的边缘概率密度f
X(x)和f
Y(y);
(Ⅲ)f(x,y)和ρXY.
(Ⅰ)可由性质
,定出常数A.
也可以把
看成形如
的正态分布N(μ,σ
2)的概率密度
,所以
解得
.
由对称性得
.
(Ⅱ)已知
,所以
由于
,故可以得出
其中C为常数.
显然X~N(0,1),Y~N(0,1)
(Ⅲ)
二维正态密度的一般形式为
对此本题所求出的二维密度,可知μ
1=μ
2=0,σ
1=σ
2=1.
,即2-2ρ
2=3ρ,2ρ
2+3ρ-2=0,
(2ρ-1)(ρ+2)=0,解得
(不可能)
所以
.
9. 设X
1,X
2,…,X
n为来自标准正态总体X的简单随机样本,记
.
试求(Ⅰ)ET的值;
(Ⅱ)ET
2的值.
(Ⅰ)由
和S
2的性质:
当X~N(0,1)时,
,和ES
2=DX=1.
所以
.
(Ⅱ)ET
2=DT+(ET)
2,由(Ⅰ)知ET=1.
(
,S
2相互独立)
,已知,当X~N(0,1)时,
.
而
.
所以
.
总之
.