一、填空题1.
2.
3.
4.
5.
6. 设A为三阶实对称矩阵,α
1=(m,-m,1)
T是方程组AN=0的解,α
2=(m,1,1-m)
T是方程组(A+E)X=0的解,则m=______.
1
由AX=0有非零解得r(A)<3,从而λ=0为A的特征值,α1=(m,-m,1)T为其对应的特征向量;
由(A+E)X=0有非零解得r(A+E)<3,|A+E|=0,λ=-1为A的另一个特征值,其对应的特征向量为α2=(m,1,1-m)T,因为A为实对称矩阵,所以A的不同特征值对应的特征向量正交,于是有m=1.
三、解答题1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. 设函数f(x)在[a,+∞)内二阶可导且f"(x)<0,又b>a,f(a)=A>0,f(b)=B>0,f'(b)<0,求证:
(Ⅰ)
.
(Ⅱ) 方程f(x)=0在[a,+∞)内有且仅有一个实根.
(Ⅰ) 方法1°f"(x)<0(x∈[a,+∞))
f(x)在[a,+∞)是凸函数
f(x)<f(b)+f'(b)(x-b) (x∈[a,+∞),x≠b).
令
方法2° 由泰勒公式可得
其中
(Ⅱ) f(x)在[a,+∞)连续,f(b)>0,
在
(a,+∞)有一个零点.
因f"(x)<0(x∈[a,+∞))
f'(x)在[0,+∞)↘.由f'(b)<0
f'(x)<0(x>b)
f(x)在[b,+∞)↘
f(x)在(b,+∞)只有唯一零点.
当x∈[a,b]时,由于f'(b)<0,f'(x)↘,只有以下两种情形:
1° f'(x)<0(x∈[a,b])
f(x)在[a,b]↘,如图(1)
f(x)≥f(b)>0(x∈[a,b]);
2°
x0∈(a,b),如图(2),
f(x)>0(x∈[a,b]).
因此f(x)在[a,+∞)有唯一零点,即方程f(x)=0在[a,+∞)有且仅有一个实根.
8.
9.