一、填空题1.
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3.
4.
5.
6. 设向量组α
1=[2,1,1,1],α
2=[2,1,a,a],α
3=[3,2,1,a],α
4=[4,3,2,1]线性无关,则a应满足条件______.
a≠1且
.
二、选择题5. 设A为m×n矩阵,且r(A)=m <n,则下列结论正确的是
(A) A的任意m阶子式都不等于零
(B) A的任意m个列向量线性无关
(C) 方程组AX=b一定有无数个解
(D) 矩阵A经过初等行变换化为
A B C D
C
因为A与
都是m行,所以
,所以方程组AX=b一定有无数个解,选(C).
三、解答题1. (Ⅰ)证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得
(Ⅱ)若函数ψ(x)具有二阶导数,且满足
则至少存在一点ξ∈(1,3),使得ψ"(ξ)<0.
[证明] (Ⅰ)由函数f(x)在闭区间[a,b]上连续知,存在f(x)在[a,b]上的最大值M与最小值m,即对
有m≤f(x)≤M.从而由定积分的性质可得
这表明
是f(x)值域[m,M]上的一个值.由闭区间上连续函数的性质知:
使得
(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论知,
分别在区间[1,2]与[2,η上对ψ(x)应用拉格朗日中值定理即得:
ξ
1∈(1,2)与ξ
2∈(2,η)分别使得
再在区间[ξ
1,ξ
2]上对导函数ψ'(x)应用拉格朗日中值定理,就有ξ∈(ξ
1,ξ
2)
(1,3)使得
2. 设f(x)在[0,1]连续,且对任意的x,y∈[0,1]都有|f(x)-f(y)|≤M|x-y|.其中M>0是常数.试证:
3.
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5.
6.
7. 设f(x)=arctanx,试导出关系式
(1+x
2)f
(n+2)(x)+2(n+1)xf
(n+1)(x)+n(n+1)f
(n)(x)=0,
并求f
(n)(0)。
因f(x)=arctanx,则
f'(x)(1+x
2)=1
上式两端求n+1阶导数,得
即
于是得递推公式
(1+x
2)f
(n+2)(x)+2(n+1)xf
(n+1)(x)+n(n+1)f
(n)(x)=0
令x=0,由上式得
f
(n+2)(0)=-n(n+1)f
(n)(0),
因
所以,由上式知
当n=2m+1时,f
(2m+1)(0)=-2(2m-1)2mf
(2m+1)(0),
又因f'(0)=1,所以f
(2m+1)(0)=(-1)
m(2m)!
8.
9.