银符考试题库B12
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考研数学三模拟289
一、填空题
1.
1
2. 差分方程
的通解是______.
[解析] 由于一阶常系数线性差分方程y
t+1
+ay
t
=f(t)的通解具有形式y
t
=C(-a)
t
+
,其中C是任意常数,而
是该方程的一个特解,它的形式由系数a的取值与方程右端项f(t)的形式所决定,在题设的方程中系数a=-2,方程右端项
,从而可设方程的通解为
代入方程知待定常数A、B应满足关于t的恒等式
+2B)
,即2A=B且A+2B=-10
A=-2,B=-4.故方程的通解是
.
3.
4. 差分方程
的通解为______.
将原方程改写为
,用公式,该方程有特解
故原方程的通解为
5.
2
6.
1
二、选择题
1.
A
B
C
D
C
2.
A
B
C
D
D
3.
A
B
C
D
C
4.
A
B
C
D
A
5.
A
B
C
D
B
6.
A
B
C
D
D
7. 已知幂级数
在x>0时发散,且在x=0时收敛,则
(A) a=1. (B) a=-1.
(C) -1≤a<1. (D) -1<a≤1.
A
B
[解析]
,知该幂级数的收敛半径为1,从而得其收敛区间为|x-a|<1,即a-1<x<a+1.
又当x-a=1即x=a+1时,原级数为
,收敛;当x-a=-1即x=a-1时,原级数为
,发散.因此,原级数的收敛域为a-1<x≤a+1.
于是,由题设x=0时级数收敛,x>0时级数发散,可知x=0是其收敛区间的一个端点,且位于收敛域内.因此只有a+1=0即a=-1.故选(B).
8.
A
B
C
D
D
三、解答题
1. 求级数
的和函数.
令
,则
可知 y
(4)
=y,即y
(4)
-y=0,解之
y=C
1
e
x
+C
2
e
-x
+C
3
cosx+C
4
sinx,
因为y(0)=1,y'(0)=y"(0)=y"'(0)=0,
所以
故
2.
3.
已知向量β=(a
1
,a
2
,a
3
,a
4
)
T
可以由α
1
=(1,0,0,1)
T
,α
2
=(1,1,0,0)
T
,α
3
=(0,2,-1,-3)
T
,α
4
=(0,0,3,3)
T
线性表出。
4. 求a
1
,a
2
,a
3
,a
4
应满足的条件;
β可由α1,α2,α3,α4线性表出,即方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=β有解,对增广矩阵作初等行变换,有
所以向量β可以由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出的充分必要条件是:a
1
-a
2
+a
3
-a
4
=0
5. 求向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组,并把其他向量用该极大线性无关组线性表出;
向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的极大线性无关组是:α
1
,α
2
,α
3
,而
α
4
=-6α
1
+6α
2
-3α
3
②
6. 把向量β分别用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
和它的极大线性无关组线性表出。
方程组①的通解是
x
1
=a
1
-a
2
+2a
3
-6t,x
2
=a
2
-2a
3
+6t,x
3
=a
3
-3t,x
4
=t,其中t为任意常数,所以β=(a
1
-a
2
+2a
3
-6t)α
1
+(a
2
-2a
3
+6t)α
2
+(a
3
-3t)α
3
+tα
4
,其中t为任意常数,由②把α
4
代入,得
β=(a
1
-a
2
+2a
3
)α
1
+(α
2
-2a
3
)α
2
+a
3
α
3
7.
8.
9.
一、填空题
1
2
3
4
5
6
二、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
三、解答题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
深色:已答题 浅色:未答题
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