三、解答题1.
2. 求微分方程y"+5y'+6y=2e
-x的通解.
所给微分方程的特征方程为λ
2+5λ+6=(λ+2)(λ+3)=0,故特征根为-2和-3.
于是,对应齐次微分方程的通解为
,其中C
1,C
2为任意常数.设所给非齐次方程的特解为y
*(x)=Ae
-x.将y
*(x)代入原方程,可得A=1
由此得所给非齐次微分方程的一个特解是y
*(x)=e
-x.
从而,所给微分方程的能解为
y(x)=C
1e
-2x+C
2e
-3x+e
-x.
[解析] 微分方程的通解
3.
4.
5.
6.
7. 设常数a>0,讨论曲线y=ax与曲线y=2lnx的公共点的个数.
曲线y=2lnx的定义域为x>0,故只要考虑右半平面x>0上两曲线y=2lnx与y=ax的公共点即可.命
f(x)=ax-2lnx,
有
8.
已知三阶方阵A的特征值为1,-1,2,设B=A3-5A2,求:9. B的特征值及其相似对角矩阵;
因为A的特征值为1,-1,2.
所以存在可逆矩阵P,使
10. |B
*|及|A+5E|.
|B|=(-4)×(-6)×(-12)=-288,
|B*|=|B|n-1=|B|2=(-288)2=(288)2.
A+5E的特征值分别为6,4,7.
故|A+5E|=6×4×7=168.