一、填空题1. 微分方程xy'+y=0满足条件y(1)=1的解是y=______.
[解析] 分离变量,得
,两边积分有
1n|y|=-1n|x|+C
1≥1n|xy|=C
1xy=±e
c1=C,
利用条件y(1)=1知C=1,故满足条件的解为
.
[评注] 微分方程xy'+y=0可改写为(xy)'=0,再两边积分即可.
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三、解答题1.
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3. 设3阶实对称矩阵A的秩为2,λ
1=λ
2=6是A的二重特征值.若α
1=(1,a,0)
T,α
2=(2,1,1)
T,α
3=(0,1,-1)
T都是矩阵A属于特征值6的特征向量.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求A的另一特征值和对应的特征向量;
(Ⅲ)若β=(-2,2,-1)
T,求A
nβ.
对于实对称矩阵A,若λ是矩阵A的k重特征值,则矩阵A属于特征值λ的特征向量有且只有k个是线性无关的.因此α
1,α
2,α
3必线性相关,那么
故a=1.
(Ⅱ)由秩r(A)=2,知|A|=0,又
,所以A的另一个特征值是λ
3=0.由题设α
1=(1,1,0)
T,α
2=(2,1,1)
T为A的属于特征值6的线性无关的特征向量.设A属于特征值0的特征向量为α=(x
1,x
2,x
3)
T,于是α
T1α=0,α
T2α=0即
解得此方程组的基础解系为α=(-1,1,1)
T.那么矩阵A属于特征值λ
3=0的全部特征向量为kα=k(-1,1,1)
T(k为任意非零常数).
(Ⅲ)设x
1α
1+x
2α
2+x
3α=β,对(α
1,α
2,α|β)作初等行变换,有
解出x
1=3,x
2=-2,x
3=1.
故
β=3α
1-2α
2+α
因为
Aα
1=6α
1,Aα
2=6α
2,Aα=0α
所以
A
nβ=3A
nα
1-2A
nα
2+A
nα=3·6
nα
1-2·6
nα
2=(-6
n,6
n,-2·6
n)
T.
[评注] 本题考查实对称矩阵特征值、特征向量的性质.如果λ是矩阵A的k重特征值,那么λ至多有k个线性无关的特征向量,而作为实对称矩阵,则k重特征值必有k个线性无关的特征向量,从而保证本题中α
1,α
2,α
3一定线性相关,可求出a;要掌握实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交这一性质.
本题亦可由A(α
1,α
2,α
3)=(6α
1,6α
2,0α),先求出矩阵A.然后利用A~A=
而求出A
n=PA
nP
-1.其中P=(α
1,α
2,α)再来计算A
nβ.
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7. 已知矩阵
和
试判断矩阵A和B是否相似,若相似则求出可逆矩阵P,使P
-1AP=B,若不相似则说明理由。
由矩阵A的特征多项式
得到矩阵A的特征值是 λ
1=3,λ
2=λ
3=-1。
由矩阵B的特征多项式
得到矩阵B的特征值也是 λ
1=3,λ
2=λ
3=-1。
当λ=-1时,由秩
知(-E-A)x=0有2个线性无关的解,即λ=-1时矩阵A有2个线性无关的特征向量,矩阵A可以相似对角化。
而(-E-B)x=0只有1个线性无关的解,即λ=-1时矩阵B只有1个线性无关的特征向量,矩阵曰不能相似对角化,因此矩阵A和B不相似。
8. 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,又b>a>0.证明:在(a,b)内
使得
令
,因为b>a>0,由题设知,f(x),g(x)在[a,b]上满足柯西中值定理,于是
∈(a,b),使得
①
又f(x)在[a,b]上满足拉氏定理,于是
,使得
②
由①,②得
9.