三、解答题设f(x)在(-1,+∞)上具有连续的一阶导数,且满足f(0)=1及f'(x)+f(x)-,1. 求f'(x);
由题设可知 f'(0)+f(0)=0
f'(0)=-f(0)=-1(因为f(0)=1).
原方程
上式两端对z求导并整理,得
(x+1)f"(x)+(x+2)f'(x)=0——对f'(x)而言是可分离变量方程
故
2. 证明:当x>0时,e
-x<f(x)<1.
对f(x)在[0,x]上,应用拉格朗日中值定理
所以 f(x)<f(0)=1(x>0).
再证 f(x)>e
-x,令F(x)=f(x)-e
-x,
因为
,
所以F(x)“↗”,x∈[0,+∞),故当x>0时,F(x)>F(0)=0,即f(x)>e
-x.
综上所述,当x>0时,e
-x<f(x)<1.
3. 已知曲线
与曲线
在点(x
0,y
0)处有公共切线,求:
(1) 常数a及切点(x
0,y
0);
(2) 两曲线与x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V
x。
(1) 如图,由于
在点(x
0,y
0)处有公切线,所以有
将
分别代入两曲线方程得:
于是
故常数
,切点为(e
2,1).
(2) 旋转体体积为
[解析] 曲线积分.
[评注] 本题考查导数和定积分的应用,求解这类问题,一般要画出草图.
4.
5. 设
,证明:级数
条件收敛.
本题考查数项级数的敛散性判别,需要综合运用多种知识,是一道具有一定计算量的综合题.
令
,则
因为
,f(x)单调减,即f(n)>f(n+1),且
所以
收敛.又
于是
,级数
发散,故级数
条件收敛.
6.
7.
8. 设a,b是满足b>a>1的两个常数,确定p与q的值使得
(Ⅰ)当x∈[a,b]时px+q≥lnx;
(Ⅱ)
取得最小值.
[解] 首先要使I(p,q)最小,直线y=px+q必须与曲线y=lnx相切,设切点为(t,lnt),则t满足方程组
于是
由于
是一个常数,因此I(p,q)与函数
有相同的最小值点.计算可得
由此即得I(p,q)当
时取得最小值,即当
且
ln(a+b)-ln2-1时I(p,q)最小.
9.