三、解答题1. 设函数F(u,v)具有二阶连续偏导数,且F'
v(u,v)≠0,求由方程F(xy,x+y+z)=0确定的隐函数z=z(x,y)的偏导数
.
[分析与求解] 利用一阶全微分形式不变性将方程F(xy,x+y+z)=0两端求全微分得
0=F'
1(xy,x+y+z)d(xy)+F'
2(xy,x+y+z)d(x+y+z)
=F'
1(xy,x+y+z)(ydx+xdy)+F'
2(xy,x+y+z)(dx+dy+dz)
=(yF'
1+F'
2)dx+(xF'
1+F'
2)dy+F'
2dz,
于是
从而
其中F'
1与F'
2的第一个变元是xy,第二个变元是x+y+z,继续求二阶混合偏导数
有
把
代入即得
注意在上面的计算中利用了F具有二阶连续偏导数,从而F"
12(u,v)=F"
21(u,v).
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3.
4.
5. 已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:
(Ⅰ) 存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1-∈;
(Ⅱ) 存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f'(η)f'(ζ)=1.
(Ⅰ) 即证
在(0,1)存在零点.由于F(x)在[0,1]连续,且
F(0)=-1,F(1)=1
即F(0)·F(1)<0,由连续函数的零点存在性定理知,
,使得F(ξ)=0,即
f(ξ)=1-ξ.
(Ⅱ) 利用题(Ⅰ)的结果,在[0,ξ]上用拉格朗日中值定理知,
,使得在[ξ,1]上,用拉格朗日中值定理知,
,使得
两式相乘得
f'(η)·f'(ζ)=1.
[解析] 微分中值定理.
6. 设二次型
x
TAx=ax
21+2x
22-x
23+8x
1x
2+2bx
1x
3+2cx
2x
3 矩阵A满足AB=0,其中
(Ⅰ)用正交变换化二次型x
TAx为标准形,并写出所用正交变换.
(Ⅱ)判断矩阵A和B是否合同.
AB=0知λ=0是矩阵A的特征值且矩阵B的列向量(1,0,1)
T是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量.故有
于是
由矩阵A的特征多项式
得矩阵A的特征值为:6,0,-6.
由(6E-A)x=0得矩阵A属于特征值6的特征向量为(1,2,-1)
T 由(-6E-A)x=0得矩阵A属于特征值一6的特征向量为(-1,1,1)
T 实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交,单位化有
那么令
则有x
TAx=y
TAy=6y
21-6y
23.
(Ⅱ)不合同,因为x
TAx=6y
21-6y
23,x
TBx=(x
1+x
3)
2=y
21,它们的正负惯性指数不一样,所以不合同.
7.
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