一、填空题1.
2.
3.
4.
5.
6. 落在平静水面的石头,产生同心波纹,若最外一圈波半径的增大率总是6米/秒,问在2秒末扰动水面面积的增大率为______米
2/秒.
144π.
本题考查导数的基本应用,是一道基础题.
设在t时刻最外圈波的半径为r(t),扰动水面面积为s(t),则s(t)=πr2(t),故s'(t)=2πr(t)r'(t),由题知r'(t)=6,r(t)=6t,所以s'(2)=2πr(2)·6=144π(米2/秒).
二、选择题2. 设n(≥3)维向量α
1=(a,1,1,…,1)
T,α
2=(1,a,1,…,1)
T,α
3=(1,1,a,…,1)
T,…,α
n(1,1,1,…,a)
T.若秩r(α
1,α
2,α
3,…,α
n)=n-1,则a=
A B C D
C
[解析] 令
对A作初等行变换,把第1行的-1倍依次加至第2,3,…,n各行,又因r(A)=n-1,显然有a≠1.把2,3,…,n行约去1-a后再加至第1行就有
可见
[注] 由于矩阵A是实对称矩阵,必有A~A.如果你能快捷地求出矩阵A的特征值,那么通过r(A)=r(A)=n-1可以更好地求出a.
4. 微分方程
满足y(0)=1的特解y(x)在点x=1处的函数值y(1)=
A B C D
B
[解析] 方程可改写为
,即
,积分得方程的通解为
即
利用初值y(0)=1可确定常数C=1,故方程满足初值y(0)=1的特解为
故
,应选(B).
三、解答题1.
2.
3.
4.
5. 某厂家生产的一种产品同时在A,B两个市场销售,售价分别为p
1和p
1;销售量分别为q
1和q
2;需求函数分别为q
1=3-0.5p
1和q
2=2-3p
2;总成本函数为
为C=5+若A市场的价格对B市场的价格弹性为2,且p
2=1时,p
1=3/16.试问:厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大?
3,p
2=4.由于可能极值点唯一,且问题必存在最大值,因此当p
1=3,p
2=4时,利润最大.
6. 设总体X的概率分布为
,其中参数θ未知且
从总体X中抽取一个容量为8的简单随机样本,其8个样本值分别是1,0,1,-1,1,1,2,1.试求:
(Ⅰ)θ的矩估计值
(Ⅱ)θ的最大似然估计值
(Ⅲ)经验分布函数F
8(x).
[解] (Ⅰ)
我们用样本均值作为总体期望的矩估计值,用样本均值的函数作为总体期望同一函数的矩估计值,而
因此θ的矩估计值为
(Ⅱ)对于给定的样本值x
1,…x
n其似然函数为
令
,得方程20θ
2-23θ+4=0,解得
于是θ的最大似然估计值为
(Ⅲ)由于经验分布函数
,于是有
7.
8.
9. 设二次型f(x
1,x
2,x
3)=
的秩为1,且(0,1,-1)
T为二次型的矩阵A的特征向量.
(Ⅰ)求常数a,b;
(Ⅱ)求正交变换X=QY,使二次型X
TAX化为标准形.
(Ⅱ)
的特征值为0,0,3.λ=0对应的特征向量为
;λ=3对应的特征向量为
,
令
及X=QY,则有f=
.