三、解答题1.
2. 设f(x)在[0,a]上有一阶连续导数,证明:至少存在一点ξ∈[0,a],使得
[证明一] 利用f(x)=f(0)+f'(ξ
1)(x-0)=f(0)+f'(ξ
1)x可得
因f'(x)在[0,a]上连续,由闭区间上连续函数的最大值最小值定理知,存在m和M,使,m≤f'(x)≤M,于是在[0,a]上有mx≤xf'(ξ
1)≤Mx,故
即
由连续函数的介值定理知,至少存在一点ξ∈[0,a],使得
即
于是
[证明二]
因为f'(x)连续,x-a≤0(x∈[0,a]),故由积分中值定理知,至少存在一点ξ∈[0,a],使得
于是
[证明三] 令
则F(x)可用麦克劳林公式表示为
即
[解析] 所给问题为f(x)的定积分与f'(ξ)之间的关系,可以考虑成原函数
与F"(ξ)之间的关系,从而可利用二阶泰勒公式证明。
如果认定为考察f(x)与f'(ξ)之间关系,也可以利用拉格朗日中值定理(一阶泰勒公式)来证明。
也可以用积分中值定理
来证明此题。
3. 求幂级数
的收敛半径、收敛域及和函数,并求
.
由
得收敛半径为R=1.
当|x|<1时,幂级数绝对收敛;当|x|>1时,幂级数发散,当x=±1时,因为
为收敛的交错级数,故幂级数
的收敛域为[-1,1].
因为S
1(0)=0,所以S
1(z)=S
1(x)~S
1(0)=
(x)dx=arctanz,故S(x)=xarctanx(-1)≤x≤1).
.
4. 已知随机变量(X,Y)的概率密度为
(Ⅰ)求常数A.
(Ⅱ)求条件概率密度f
Y|X(y|x).
[解析] 常数A可以通过性质
来求得.
但考虑到
必须求
也可以定出A来.
5.
6.
7. 求幂级数
的收敛半径R,收敛域D与和函数S(x)。
因在幂级数中所有奇次幂项系数为零,可直接求级数中后项与前项绝对值之比的极限,并利用比值判别法得出收敛半径,设x≠0,则
从而,当|x|<1时幂级数绝对收敛,当|x|>1时幂级数发散,其收敛半径R=1,当x=±1时幂级数成为交错级数
单调减少,且
,按莱布尼兹判别法知级数条件收敛,故幂级数
的收敛域D=[-1,1]。
设
注意
于是,分解原幂级数,可得
因
故
又因S
2(0)=0,而当x≠O时
从而
注意原幂级数当x=±1时收敛,而上面得到的和函数表达式在x=±1处也连续,因而和函数公式在点x=±1处也成立,即
8. 设随机变量X与Y相互独立,均服从参数为1的指数分布.记Z
1=min(X,Y)和Z
2=max(X,Y).试求
(Ⅰ)Z
1和Z
2的密度函数f
1(z)和f
2(z);
(Ⅱ)求EZ
1和EZ
2.
X,Y独立,~E(1),其密度
指数分布有:
记Z
1的分布F
1(z),
z≤0,F
1(z)=P{Z
1≤z}=P{min(X,Y)≤z}=0z>0时,F
1(z)=P{Z
1≤z}=P{min(X,Y)≤z}=1-P{min(X,Y)>z}
=1-P{X>z,Y>z)=1-P{X>z}P{Y>z}
=1-e
-z·e
-z=1-e
-2x.
所以
现来求Z
2的分布F
2(z).
F
2(z)=P{Z
2≤z}=P{max(X,Y)≤z}=P{X≤z,Y≤z}
=P{X≤z)P{Y≤≤z}=F
X(z)F
Y(z)=F
2(z)
(Ⅱ)因Z
1~E(2) 故
[评注](Ⅱ)中直接运用公式
记住这公式会很有用.
EZ
2的计算也可以方便用公式
因为Z
1+Z
2=min(X,Y)+max(X,Y)=X+Y.
9.