一、填空题1. 设位于曲线
下方,x轴上方的无界区域为G,则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为______.
[解析] 所求旋转体的体积
2.
3. 设函数f与g可微,z=f(xy,g(xy)+lnx),则
4. 设X和Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为
g(y)=
则E(XY)=______.
4.
本题是考查数字特征计算的基础题.
又由于X和Y相互独立,故E(XY)=E(X)E(Y)=4.
5. 已知X
1,X
2,…,X
n是来自正态总体N(0,σ
2)的简单随机样本,样本均值和样本方差分别为
和S
2,记
,则ET=______.
σ2
[解析] 由题设知X~N(0,σ
2),故
ES
2=DX=σ
2 所以
6.
三、解答题1.
2.
3. 已知二次型
(1) 写出二次型-厂的矩阵表达式;
(2) 用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵.
(1) f的矩阵表达式为
(2) 二次型的矩阵阵为
A的特征方程为
由此得A的特征值为λ
1=1,λ
2=6,λ
3=-6.对应的特征向量为
对应的单位特征向量为
由此可得正交矩阵
对二次型f作正交变换
则二次型f可以化为如下标准形
[解析] 化二次型为标准形常用两种方法:正交变换法和配方法.但要注意的是用配方法得到的标准形中的系数不一定为二次型相应矩阵的特征值.
[考点提示] 这是二次型的一个常规题,注意不要出现计算错误.
4. 设f(x),g(x)在[0,1]的导数连续,且f(0)=0,f'(x)≥0,g'(x)≥0,证明:对
a∈[0,1],有
即证
[证法一] 用微分学方法即引入a∈[0,1]的函数
利用单调性来证明.
由题设知,函数f(x),g(x)在[0,1]区间是非减的,且f(x)在[0,1]区间是非 负的,从而
F'(a)=g(a)f'(a)-f'(a)g(1)=f'(a)(g(a)-g(1))≤0 (a∈[0,1])
又
因此函数F(a)在[0,1]上单调非增,且F(a)≥F(1)=0当a∈[0,1]时成立.
[证法二] 积分学方法.直接计算定积分并用定积分的性质
其中f(x)在[0,1]单调非减,f(x)-f(a)≥0(x∈[a,1]),g'(x)在[0,1]非负.
因此原不等式成立.
5.
6.
已知曲线y=f(x)(x≥0)是微分方程
2y"+y'-y=(4-6x)e-x
的一条积分曲线,此曲线通过原点,且在原点的切线斜率为0。7. 求曲线y=f(x)到x轴的最大距离;
由题设知函数f(x)是微分方程初值问题
当x≥0时的特解,方程①的特征方程是2λ
2+λ-1=0,其特征根为
与λ
2=-1,由设非齐次方程特解的规则可知方程①有形式为y
*=(Ax+Bx
2)e
-x的特解,代入方程①可确定常数A=0,B=1,即①有特解y
*=x
2e
-x,不难发现y
*满足初值y(0)=y'(0)=0,从而初值问题①,②的解就是y
*=x
2e
-x,即所求曲线的方程为y=f(x)=x
2e
-x(x≥0),
由于
可见曲线y=f(x)(x≥0)到x轴的最大距离在x=2处取得,且此最大距离为f(2)=4e
-2。
8. 计算
9.