一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题要求.1. 方程
在(-∞,+∞)内实根个数为______
A B C D
C
[考点] 讨论方程根的个数
[解析] 令
,由于f(x)在(-∞,+∞)为偶函数,只要讨论f(x)在[0,+∞)内零点情形,而当x>1时,f(x)>0,因此讨论f(x)在[0,1]的零点即可.
,依闭区间连续函数零值定理,f(x)在(0,1)内至少有一实根,但
.
即f(x)在[0,1]严格单调增加,故f(x)=0在
内有唯一实根,从而f(x)=0在(-∞,+∞)内有且只有两个实根. 选C.
2. 函数
在点(0,0)______
- A.不连续
- B.偏导数存在
- C.可微
- D.沿任一方向Z的方向导数存在
A B C D
D
[考点] 二元函数的连续,偏导数存在,可微,方向导数存在的关系
[解析]
,故函数在(0,0)连续.
不存在.
同理
不存在.
因此f(x,y)在点(0,0)也不可微. A,B,C不正确.
对任一方向
,
.
D正确. 选D.
3. 位于两圆x
2+y
2=2y与x
2+y
2=4y之间的质量分布均匀的薄板重心坐标是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 平面上均匀薄板重心的坐标
[解析] 薄板占有的平面区域为
D={(x,y)|2y≤x
2+y
2≤4y}
={(r,θ)|0≤θ≤π,2sin θ≤r≤4sin θ}.
不妨设面密度μ=1,则
.
D关于x=0(y轴)对称,故
;
于是
. 从而重心的坐标为
. 选B.
4.
的值等于______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[考点] 定积分的计算
[解析] 令
.
从而2J=0,J=0. 于是
. 选A.
注:也可以绘出φ(x)在
的图形,由
及定积分几何意义,易知
5. 设A为n阶可逆矩阵,A
*是它的伴随矩阵,则行列式
的值为______
- A.4n|A|n
- B.2n|A|n
- C.(-1)n4n|A|n
- D.(-1)n2n|A|
A B C D
A
[考点] 分块矩阵的行列式
[解析] 分块矩阵是2n阶矩阵,由AA
*=A
*A=|A|E知|A||A
*|=|A|
n.
于是
,选A.
6. A为n阶矩阵,A
T是A的转置矩阵,则______
- A.λ是AT的特征值,则λ必是A的特征值
- B.λ是AT的特征值,则λ必不是A的特征值
- C.η是AT的特征向量,则η必是A的特征向量
- D.η是AT的特征向量,则η必不是A的特征向量
A B C D
A
[考点] n阶矩阵与其转置矩阵特征值、特征向量的关系
[解析] A正确. |λE-A
T|=|(λE-A)
T|=|λE-A|. 表明A
T与A有相同的特征多项式,故有相同的特征值,由此即知B不正确.
C不正确. 反例:取
,此时有
,即η是A
T属于特征值λ=1的特征向量. 但是,
(对任意实数A都有此式),即η不是A的特征向量.
D不正确. 反例:取A=A
T=E,则A
T与A有相同的特征向量. 选A.
8. 设X
1,X
2,…,X
10是取自正态总体N(2,σ
2)的样本,记
,S=
,已知
,则P(S≤σ)的值为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[考点] 正态总体样本均值,样本方差相关的抽样分布
[解析] 来自正态总体N(μ,σ
2)的样本,样本均值
与样本方差S
2相互独立,因此有
而
,故
.
由此可得
,选C.
二、填空题1.
______.
[考点] 含有变上限积分定义函数的极限
[解析]
于是
2. 函数
在点
(a>0,b>0)处沿曲线
1在这点内法线方向的方向导数为______.
[考点] 求方向导数
[解析] 令
,则φ(x,y)=0在点
处的法向量为
单位内法向量为
.
从而
3. 设x+z=yf(x
2-z
2). 则
______.
x
[考点] 复合函数,隐函数的偏导数
[解析] 在方程x+z=yf(x
2-z
2)两边取微分,得dx+dz=fdy+yf′(2xdx-2zdz),即
(2yzf′+1)dz=(2xyf′-1)dx+fdy.
从而,
则.
于是.
4. 将累次积分
化为定积分的形式为______.
[考点] 三重积分的累次积分交换次序
[解析] 被积函数含z,最后对z积分为好,先换y,z次序.
则
再交换z,x次序:
. 因此有
5. 设A,B,AB-E都是n阶可逆矩阵,则[(A-B
-1)
-1-A
-1]
-1等于______.
(AB-E)A
[考点] 抽象可逆矩阵求逆矩阵
[解析] |A-B-1|=|ABB-1-B-1=|(AB-E)B-1|=|AB-E|·|B-1|≠0.
故A-B-1可逆,而
(A-B-1)-1-A-1=(A-B-1)-1-(A-B-1)-1(A-B-1)A-1
=(A-B-1)-1[E-(A-B-1)A-1].
=(A-B-1)-1(E-E+B-1A-1)
=[AB(A-B-1)]-1=(ABA-A)-1,
从而[(A-B-1)-1-A-1]-1=ABA-A=(AB-E)A.
6. 设随机变量X关于随机变量Y的条件概率密度为
而Y的概率密度为
则
______.
[考点] 随机变量(X,Y)的联合概率密度、条件概率密度及边缘密度
[解析] (X,Y)的联合概率密度为
于是关于X的边缘概率密度为
从而
.
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 试证:对任意实数a≠1,有
.
令
,即x
2=t,2xdx=dt. 于是
,
在等式右端第二项中,令
,则
. 于是
代回式(*)中,注意定积分的值与积分变量字母无关,得
[考点] 证明积分等式
2. 设
求
,其中D={(x,y)|x
2+y
2≥2x}.
记G={(x,y)|1≤x≤2,0≤y≤x}.
D
1=G∩D={(x,y)|1≤x≤2,
.
则
[考点] 计算二重积分
3. 求数项级数
的和.
考察幂级数
,收敛半径r=+∞. 对任意实数x∈(-∞,+∞)级数都收敛. 和函数记为s(x),有
(|x|<+∞).
由于
(|x|<+∞).
(|x|<+∞).
故
(|x|<+∞).
因此
(|x|<+∞).
取x=π,得
.
[考点] 求数项级数的和
4. 设平面图形A由x
2+y
2≤2x与y≥x围成,求图形A绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积.
以y为积分变量,则A的边界曲线为
x
2=y(0≤y≤1).
所求体积为曲线x
1=x
1(y)和x
2=x
2(y)绕直线x=2所得旋转体体积之差,
取y,y+dy∈[0,1],由微元法知
[考点] 定积分应用
5. 设曲面Σ为:z=x
2+(y-1)
2+1被平面π:2y+z=3截下的有限部分,其法向量与z轴正向夹角为锐角,求曲面积分
.
从
消z,得x
2+y
2=1.
表明它是二曲面Σ与π交线向xOy平面投影的柱面方程.记D
xy={(x,y)|x
2+y
2≤1}.
添上平面π被曲面Σ截下部分,记作Σ
1,其法向量向下,
由Σ与Σ
1围成的立体为Ω,依高斯公式有
[考点] 计算关于坐标的曲面积分
设A为n阶矩阵,r(A)=n-1,且代数余子式A11≠0.6. 求AX=0的通解;
由于r(A)=n-1<n,故AX=0必有非零解X=(x
1,x
2,…,x
n)
T≠0. 且它的基础解系含有n-r(A)=n-(n-1)=1个解向量. 将此非零解代入AX=0,有
当考查n-1元方程组:
时,由于其系数行列式A
11≠0,根据克莱姆法则,它只有零解x
2=x
3=…=x
n=0,从而知x
1≠0(否则X=(x
1,x
2…x
n)
T=0与其AX=0非零解矛盾). 故AX=0的基础解系为ξ=(1,0,0,…,0)
T,AX=0的通解为X=cξ(c为任意常数).
7. 求A
*X=0的通解.
当r(A)=n-1时,r(A
*)=1,于是
即
它的基础解系为
A
*X=0的通解为X=c
1ξ
1+c
2ξ
2+…+c
n-1ξ
n-1(c
1,c
2,…,c
n-1为任意常数).
[考点] 求齐次线性方程组的通解
已知矩阵与对角矩阵相似.8. 求坐标变换X=CY,化二次型f=X
TAX为标准形.
=(λ-6)(λ
2-4λ-12)=(λ-6)
2(λ+2)=0,
得A的特征值为λ
1=λ
2=6,λ
3=-2.
由A与对角矩阵相似知A属于λ
1=λ
2=6的有两个线性无关的特征向量.
即(6E-A)X=0的基础解系有2个解向量:3-r(6E-A)=2,故r(6E-A)=1.
.得a=0.
此时二次型为
令
,即
,亦即
,则有
9. 指出X
TAX=0表示什么曲面.
X
TAX=0即
,表示锥面.
[考点] 求坐标变换,化二次型为标准形
设某种商品一周的需求量X是一随机变量,其概率密度为
假设各周对该商品的需求量是相互独立的,10. 以Y
k表示前k周的需求量(k=1,2,3),求Y
2和Y
3的概率密度f
2(y)和f
3(y);
以X
i(i=1,2,3)表示第i周需求量,则X
i(1≤i≤3)相互独立,同分布,均以f(x)为概率密度.
Y
2=X
1+X
2;Y
3=X
1+X
2+X
3=Y
2+X
3.
当y≤0时,显然f
2(y)=0. 当y>0时,由卷积公式
即
同理,当y≤0时,f
3(y)=0. 当y>0时,由卷积公式
即
11. 以Z表示前3周中各周需求量的最大值,求Z的概率密度f
Z(z).
Z=max(X
1,X
2,X
3),对任意实数z,有
F
Z(z)=P(Z≤z)=P(max(X
1,X
2,X
3)≤z)
=P(X
1≤z,X
2≤z,X
3≤z)
=P(X
1≤z)P(X
2≤z)P(X
3≤z)=[F
X(z)]
3.
当z≤0时,F
X(z)=0.
当z>0时,
,
即
从而
[考点] 求独立随机变量函数的概率密度
已知产品某项指标X的概率密度为
其中μ为未知参数,现从产品中随机抽取3个,测得该指标为1026,966,1011.12. 求μ的矩估计值;
X的一阶中心矩为
而样本均值为
.
令
为μ的矩估计值.
13. 求μ的最大似然估计值.
基于x
1=1026,x
2=966,x
3=1011的似然函数为
欲求lnL(μ)的最大值点,即求
的最小值点.
记
,
当μ≤966时,l=(1026-μ)+(966-μ)+|1011-μ|
=3(1001-μ)≥3(1001-966)=105.
当μ≥1026时,l=(μ-1026)+(μ-966)+(μ-1011)
=3(μ-1001)≥3(1026-1001)=75.
当966<μ<1026时,l=(1026-μ)+(μ-966)+(1011-μ)
=60+|1011-μ|≥60.
(等号在μ=1011时成立).
即μ=1011时,l取最小值,lnL(μ)取最大值. 从而
是μ的最大似然估计值.
[考点] 求矩估计值和最大似然估计值