一、填空题1. 设矩阵A=
,则A
3的秩为______.
1.
解 利用矩阵乘法,容易计算得
由于A
3中非零子式的最高阶数为1,故由矩阵的秩的定义,即知r(A
3)=1.
本题综合考查矩阵乘法运算及矩阵的秩的概念.
2. 设α为3维单位列向量,E为3阶单位矩阵,则矩阵E-αα
T的秩为______.
2.
解1
若取单位向量α=(1,0,0)
T,则矩阵
的秩为2,本题作为填空题,要求一般成立的结果,自然应对个例成立,所以矩阵E=αα
T的秩为2.
解2
设3维单位列向量
,
矩阵
的左上角的2阶子式为
,所以矩阵E-αα
T的秩至少是2;又由α
Tα=1,得(E-αα
T)α=α-α(α
Tα)=0,知齐次线性方程组(E-αα
T)x=0存在非零解α,所以矩阵E-αα
T的秩小于3,综上知矩阵E-αα
T的秩为2.
解3
记矩阵A=E-αα
T,则由α
Tα=1,易得A
2=A,由此知A不可逆.(否则A可逆,用A
-1左乘A
2=A两端,得A=E,这与A≠E矛盾(若A=E,则αα
T=O,但αα
T≠0)),所以A不可逆(由此也可知A的秩小于3),因此A有特征值为0.设A按列分块为A=(β
1,β
2,β
3),则由A
2=A可得Aβ
j=β
j(j=1,2,3),这表明β
j是A的属于特征值1的特征向量.以上说明A有特征值λ
1=0,λ
2=1.再由A的全部特征值之和=A的主对角线元素之和=
,知A的另一特征值λ
3=1.因此,A的全部特征值为0,1,1.因为A是3阶实对称矩阵,所以,A相似于对角矩阵M=diag(0,1,1).因相似矩阵有相同的秩,从而得r(A)=r(M)=2.
本题综合考查矩阵运算及矩阵的秩的概念及计算。本题也可利用方阵E-αα
T的行列式等于0,从而推出方阵E-αα
T的秩小于3,读者可以一试.
3. 设A=(a
ij)是3阶非零矩阵,|A|为A的行列式,A
ij为a
ij的代数余子式.若a
ij+A
ij=0(i,j=1,2,3),则|A|=______.
-1.
解 由A≠O,不妨设a
11≠0,由已知的A
ij=-a
ij(i,j=1,2,3),得
,
及A=-(A
*)
T,其中A
*为A的伴随矩阵.以下有两种方法:
方法1 用A
T右乘A=-(A
*)
T的两端,得
AA
T=-(A
*)A
T=-(AA
*)
T=-(|A|I)
T,其中I为3阶单位矩阵,上式两端取行列式,得
|A|
2=(-1)
3|A|
3,或|A|
2(1+|A|)=0,
因|A|≠0,所以|A|=-1.
方法2 从A=-(A
*)
T两端取行列式,并利用|A
*|=|A|
2,得
|A|=(-1)
3。|A
*|=-|A|
2,或|A|(1+|A|)=0,
因|A|≠0,所以|A|=-1.
本题综合考查行列式的计算和伴随矩阵的有关概念.本题要求方阵A的行列式,需要建立关于方阵A的等式,所以将已知的9个数相等的条件A
ij=-a
ij(i,j=1,2,3)转化成两个3阶方阵相等:A=-(A
*)
T,这是本题求解的关键.还应注意在处理有关伴随矩阵的问题时,伴随矩阵的定义及基本公式AA
*=A
*A=|A|I是两个基本出发点.本题还用到方阵行列式及伴随矩阵行列式的其它常用性质,如:|A
T|=|A|,|AB|=|A ||B|(A,B为同阶方阵),|KA|=k|A|(k为常数),|A
*|=|A|
n-1(A为n阶方阵).
4. 设
则秩(AB)=______.
5. 设
B≠O满足BA=O,则t=______.
-3
t=-3.BA=O且B≠O时,必有|A|=0.
6. 设
矩阵B满足A
2-AB=2B+4E,则B=______.
B=(A+2E)
-1(A
2-4E)=(A+2E)
-1(A+2E)(A-2E)
.
7. 设n(n≥3)阶方阵
的秩为n-1,则a=______.
或a=1,而当a=1时,有r(A)=1;则当
时,有r(A)=n-1.
8. 设
的伴随矩阵为A
*,且A
*BA=2BA-8E,则矩阵B=______.
B=8(2E-A
*)
-1A
-1=8[A(2E-A
*)]
-1=8(2A-AA
*)
-1=8(2A-|A|E)
-1=8(2A+2E)
-1 .
9. 设
n≥2为正整数,则A
n-2A
n-1=______.
0
因A2=2A,故当n=2时,An-2An-1=A2-2A=O;当n>2时,An-2An-1=An-2(A2-2A)=An-2O=O,故恒有An-2An-1=O(n≥2).
10. 设A、B分别为m阶和n阶方阵,且|A|=a,|B|=b,则行列式
=______.
(-1)mnab.
可用行列式的拉普拉斯展开法则,或经mm次相邻两列的互换,得
.
11. 设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A
*的秩为______.
0
当r(A
4×4)=2时,A中3阶子式全为零
.
12. 设A、B均是n阶矩阵,且|A|=2,|B|=-3,A
*为A的伴随矩阵,则行列式|2A
*B
-1|=______.
|2A
*B
-1|=2
n|A
*|| B
-1|=2
n|A|
n-1|B|
-1=
.
13. 设
B=(E+A)
-1(E-A),则(E+B)
-1=______.
E+B=E+(E+A)
-1(E-A),两端左乘E+A,得
(E+A)(E+B)=E+A+E-A=2E
14. 设α为3维列向量.α
T是α的转量.若
则α
Tα=______.
15. 设三阶方阵A、B满足A
2B-A-B=E,其中E为三阶单位矩阵,若
则行列式
|B|=______.
.由题设方程解得(A-E)B=E,两端取行列式,得2|B|=1,故
.
16. 设n维向量α=(a,0,…,0,a)
T,a<0;E为n阶单位矩阵,矩阵A=E-αα
T,
,其中A的逆矩阵为B,则a=______.
-1
由α
Tα=2a
2,及
,
得
.
17. 设A、B均为三阶矩阵,E是三阶单位矩阵.已知AB=2A+B,B=
,则(A-E)
-1=______.
由题设方程得(A-E)B-2A=O.
.
18. 设
,B=P
-1AP,其中P为3阶可逆矩阵,则B
2004-2A
2=______.
由于
,A
4=(A
2)
2=E,A
2004=(A
4)
501=E
501=E,
故B
2004-2A
2=P
-1A
2004P-2A
2=E-2A
2=
、
19. 设A=(a
ij)
3×3是实正交矩阵,且a
11=1,b=(1,0,0)
T,则线性方程组Ax=b的解是______.
由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组,故
,又A
-1=A
T,故方程组Ax=b的解为x=A
-1b=A
Tb=
.
20. 已知α
1,α
2均为2维向量,矩阵A=[2α
1+α
2,α
1-α
2],β=[α
1,α
2],若行列式|A|=6,则|B|=______.
-2
A=[2α
1+α
2,α
1-α
2]=[α
1,α
2]
,两端取行列式,得|A|-|B|(-3),因|A|=6,得|B|=-2.
二、选择题1. 设A,B均为2阶矩阵,A
*,B
*分别为A,B的伴随矩阵.若|A|=2,|B|=3,则分块矩阵
的伴随矩阵为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
解1 记矩阵
,则C的的行列式
,因此C为可逆矩阵,由公式CC
*=|C|E,得
故只有选项B正确.
解2 记矩阵
,并记|C|的(i,j)元素的代数余子式为A
ij(i,j=1,2,3,4),则计算可得:
A
11=0,A
21=0,A
31=|A|h,A
41=-|A|f,
A
12=0,A
22=0,A
32=|A|g,A
42=|A|e,
A
13=|B|d,A
23=-|B|b,A
33=0,A
43=0,
A
14=-|B|c,A
24=|B|a,A
34=0,A
44=0.
于是由伴随矩阵的定义(C
*的(i,j)元为A
ji),得
,
其中
因此选B.
本题综合考查伴随矩阵的基本概念和分块矩阵的基本运算.从解2可见,本题如果没有A、B都可逆的条件,则结论B仍然正确,可见解2的方法适用更广些.但当A、B都可逆时,解1的方法更实用更简单.本题也可构造适合题意的简单矩阵A、B,然后运用排除法,读者可以一试.
3. 设A为3阶矩阵,将A的第2列加到第1列得矩阵B,再交换B的第2行与第3行得单位矩阵.记P
1=
,P
2=
,则A=______
A.P
1P
2. B.
. C.P
2P
1. D.
.
A B C D
D
解 由题设条件有P
2AP
1=I,两端左乘
,两端右乘
,得
,因
,而
,故只有D正确.
本题主要考查矩阵初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的逆矩阵,类似题目已考过多次,属于很基本的教学要求内容,应熟练掌握.
4. 设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵.且P
-1AP=
.若P=(α
1.α
2,α
3),Q=(α
1+α
2,α
2,α
3),则Q
-1AQ=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
解1
其中,矩阵M=
,易求出M
-1=
于是,Q
-1AQ=(PM)
-1A(PM)=M
-1(P
-1AP)M
.
因此选B.
解2 已知
两端左乘Q
-1,得Q
-1AQ=
,故选B.
解3 由已知A相似于对角矩阵diag(1,1,2),知α
1,α
2,α
3是A的3个线性无关特征向量,且依次属于特征值1,1,2.α
1+α
2≠0(否则α
1,α
2线性相关,与α
1,α
2,α
3线性无关矛盾),且A(α
1+α
2)=Aα
1+Aα
2=α
1+α
2,因此α
1+α
2是A的属于特征值1的一个特征向量.
从而知α
1+α
2,α
2,α
3是A的3个线性无关特征向量,且依次属于特征值1,1,2,因此利用矩阵相似对角化可写出
(α
1+α
2,α
2,α
3)
-1A(α
1+α
2,α
2,α
3)=diag(1,1,2),即Qq
-1AQ=diag(1,1,2).因此选B.
本题主要考查矩阵乘法、特别是矩阵乘法的按列表示的应用.解I中矩阵M是一个第3类初等矩阵,求其逆阵可以直接利用初等矩阵的求逆阵公式.
本题中,矩阵Q的可逆性可以根据Q的3个列向量线性无关而知道,也可以由Q=(α
1,α
2,α
3)
是两个可逆矩阵的乘积而知Q可逆.
5. 设A、B、A+B、A
-1+B
-1均为n阶可逆方阵,则(A
-1+B
-1)
-1=______
- A.A-1+B-1
- B.A+B
- C.A(A+B)-1B
- D.(A+B)-1
A B C D
C
由(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=(E+B-1A)(A+B)-1B=B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1B=E.或A(A+B)-1B=[B-1(A+B)A-1]-1=(B-1AA-1+B-1BA-1)-1=(B-1+A-1)-1=(A-1+B-1)-1即知只有C正确.
6. 设n维行向量
,矩阵A=I-α
Tα,B=I+2α
Tα,其中I为n阶单位矩阵,则AB=______
A B C D
C
AB=(I-α
Tα)(I+2α
Tα)=I+2α
Tα-α
Tα-2α
Tαα
Tα=I+α
Tα-2α
T(αα
T)α,而
,故得AB=I.
8. 设矩阵
,已知矩阵A相似于B,则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于______
A B C D
C
由条件知存在可逆矩阵P,使P
-1AP=B,故有P
-1(A-2E)P=P
-1AP-2E=B-2E=
,P
-1(A-E)P=B-E=
,利用相似矩阵有相同的秩,得r(A-2E)+r(A-E)=
=3+1=4.
9. 设
其中A可逆,则B
-1等于______
- A.A-1P1P2
- B.P1A-1P2
- C.P1P2A-1
- D.P2A-1P1
A B C D
C
利用初等变换与初等矩阵的关系,可得B=AP
2P
1,故B
-1=
=P
1P
2A
-1.
10. 设矩阵A=(a
ij)
3×3满足A
*=A
T,其中A
*为A的伴随矩阵,A
T为A的转置矩阵.若a
11,a
12,a
13为三个相等的正数,则a
11为______
A.
B.3 C.
D.
A B C D
A
由比较A
*=A
T对应元素知a
ij=A
ij(i,j=1,2.3).其中A
ij为|A|中a
ij的代数余子式,利用行列式按行展开法则得|A|=
.又由A
*=A
T两端取行列式得|A|
2=|A|,
,故得
.
三、解答题1. 设矩阵A的伴随矩阵
A
*=
且ABA
-1=BA
-1+3E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵B.
解1 由|A
*|-|A|
n-1,有|A|
3=8,得|A|=2.
又由题设方程,有 (A-E)BA
-1=3E
两端右乘A,得 (A-E)B=3A
两端左乘A,得 (E-A
-1)B=3E
即
亦即 (2E-A
*)B=6E
又2E-A
*为可逆矩阵,于是
B=6(2E-A
*)
-1 计算可得
因此
解2 |A|=2(解法同解1).
由AA
*=|A|E,得
A=|A|(A
*)
-1=2(A
*)
-1 可见A-E为可逆矩阵,于是由(A-E)BA
-1=3E,有
B=3(A-E)
-1A
而
因此
本题综合考查矩阵的运算及伴随矩阵的概念和性质.注意本题化简矩阵方程的关键是利用公式AA*=A*A=|A|E.解1也可以直接先给题设方程两端右乘A,得AB=B+3A,再两端左乘A*,得|A|B=A*B+3|A|E,即2B=A*B+6E,移项得(2E-A*)B=6E,以下同解1.
2. 设A、B都是n阶方阵,且A
2=E,B
2=E,|A|+|B|=0,证明:|A+B|=0.
由条件知|A|=±1,|B|=±1,且|A|=-|B|
|A||B|=-1,故|A+B|=|AE+EB|=|AB
2+A
2B|=|A(B+A)B|=|A||B+A||B|--|A+B|
|A+B|=0.
设
3. 求A
n(n=2,3,…);
A2=4E,故A2k=(A2)k=(4E)k=4kE,A2k+1=A2kA=4kA(k=1,2,…).
4. 若方阵B满足A
2+AB-A=E,求矩阵B.
由
.
B=A
-1(E+A-A
2)=A
-1+E-A=
.
5. 设A、B均为n阶方阵,且满足AB=A+B,证明A-E可逆,并求(A-E)
-1.
(A-E)(B-E)=E
(A-E)
-1=B-E.
6. 设有矩阵A
m×n,B
n×m已知E
m-AB可逆,证明:E
n-BA可逆,且(E
n-BA)
-1-E
n+B(E
m-AB)
-1A.
只要验证(En)[En+B(Em-AB)-1A]=En.
7. 设A为m×n矩阵,证明:
存在n×m矩阵C,使得CA=E。
若r(A)=n存在可逆矩阵P
m×m及Q
n×n,使PAQ=
为A的秩标准形
,两端左乘[Q O],得[Q O]PA=E
n,故C=[Q O]P,使得CA=E
n.反之,若存在C
n×m,使得CA=E
n,则n=r(E
n)=r(CA)≤r(A)≤n
r(A)=n.
8. 设A=(a
ij)为n阶方阵,证明:对任意的n维列向量X,都有
为反对称矩阵.
必要性:取X=ε
j=(0,…,0,1,0,…,0)
T(第j个分量为1,其余分量全为零的n维列向量),则由0=
,及i≠j时,有0=(ε
i+ε
j)
TA(ε
i+ε
j)=
=0+a
ij+a
ji+0=a
ij+a
ji可知A为反对称矩阵.充分性:若A
T=-A,则X
TA
TX=-X
TAX,又X
TA
TX为1阶方阵,其转置不变,因而有
.
9. 设实方阵A=(a
ij)
4×4满足:(1)a
ij=A
ij(i,j=1,2,3,4,其中A
ij为a
ij的代数余子式);(2)a
11≠0.求|A|.
10. 设A
*是A
3×3的伴随矩阵,
,求行列式|(3A)
-1-2A
*|的值.
11. 设
A
*为A的伴随矩阵,矩阵B满足A
*B=A
-1+2B,求B.
利用AA
*=|A|E=4E,用A左乘方程两端,得4B=E+2AB,
.
12. 设3阶矩阵A的逆阵为
A
*为A的伴随矩阵,求(A
*)
-1.
.
设A为n阶非奇异矩阵,α为n维列向量,b为常数.记分块矩阵
其中A*是A的伴随矩阵,I为n阶单位矩阵.14. 证明矩阵Q可逆的充分必要条件是α
TA
-1α≠b.
由(1)得|PQ|=|A|
2(b=α
TA
-1α),而|PQ|=|P||Q|,且由条件知
|A|(b-α
TA
-1α),因而Q可逆
.
15. 已知矩阵
且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E,其中E是3阶单位阵.求X.
由题设等式得(A-B)X(A-B)=E,故
X=(A-B)
-1(A-B)
-1=
.