第一部分 选择题
一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。)2. 在空间直角坐标系中方程2x
2-3y
2+z
2-1=0表示的图形是______
A B C D
A
[解析] 由于方程
(a>0,b>0,c>0)表示单叶双曲面,
∴2x
2-3y
2+z
2-1=0作变形为:2x
2+z
2-3y
2=1表示单叶双曲面.
3. 交换二次积分
的积分次序得______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] x=y
2与x=y的交点为(0,0)和(1,1)故
4. 幂级数
的收敛区间为______
- A.[1,3)
- B.(1,3)
- C.(1,3]
- D.[1,3]
A B C D
D
[解析] 令t=(x-2)
2,则所给幂级数成为
记
,则由
知①的收敛半径为1.并且,当t=1时,①成为
,由交错级数的莱布尼兹定理知它是收敛的.于是所给幂级数的收敛区间为{x|(x-2)
2≤1}=[1,3].
第二部分 非选择题
二、填空题1. 设f(x,y)=ln(x
2+y
2),g(x,y)=e(x+y),则f[x
2,g(x,y)]=______.
ln(x4+e2x+2y)
[解析] f[x2,g(x,y)]=f[x2,e(x+y)]=ln(x4+e2(x+y))=ln(x4+e2x+2y).
3. 由曲面
及
围成的闭区域Ω上的三重积分
等于用球面坐标表示的(积分顺序为r,φ,θ的)三次积分为______.
[解析] 因为Ω={(r,θ,φ)|1≤r≤2,0≤θ≤2π,
},
由Ω在yOz平面的投影区域如下图阴影部分所示知
,
所以
4. 设∑是球面x
2+y
2+z
2=a
2(a>0)的内侧,则曲面积分
0
[解析] 将∑分为两部分,∑
1:前半球面,取后侧;∑
2:后半球面,取前侧.
∑
1和∑
2在Oyz面的投影区域为D.
5. 微分方程xdy-ydx=y
2e
ydy的全部解为______.
x+yey=Cy及y=0
[解析] y=0是所给微分方程的解,下面考虑y≠0,将所给微分方程改
写为
即
所以,所给微分方程的全部解是
及y=0,即x+ye
y=Cy及y=0.
三、计算题1. 已知平面π
1:mx-3y+4z-7=0与π
2:2x+6y-nz+3=0表示两个互相平行的平面,求m和n的值.
解:平面π
1和π
2的法向量分别为
n
1={m,-3,4}和n
2={2,6,-n}
若两平面互相平行,则n
1∥n
2,即
解之得m=-1,n=8.
2. 设ω=xye
z,且x
2+2y+z-3=0,求
解:由方程x
2+2y+z-3=0得z=3-x
2-2y,则ω=xye
3-x2-2y.所以,
3. 在曲面z=xy上求一点,使这点的法线垂直于平面x+3y+z+9=0,并写出法线方程.
解:易知平面x+3y+z+9=0的法向量为n
1={1,3,1}.
令F(x,y,z)=z-xy
则F
x=-y,F
y=-x,F
z=1
从而曲面上任一点(x
0,y
0,z
0)处的法向量为n
2={-y
0,-x
0,1}
依题意知n
1∥n
2 故有
即x
0=-3,y
0=-1
从而曲面上点(-3,-1,3)处的法线垂直于平面x+3y+z+0=0.
该点处的法线方程为
4. 计算二重积分
,其中B是由y=x
2,y=x所围成的区域.
解:
B可表示为0≤x≤1,x
2≤y≤x,由此将二重积分化为累次积分.
5. 计算
,其中Ω是由曲线
绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=2,z=8所围成的立体。
解:
6. 设L是圆周x
2+y
2+2y=0,求关于弧长的曲线积分∫
L(y
2x+x
4)ds.
解:L的参数方程为
,所以
7. 计算曲面积分
,其中∑为抛物面z=2-(x
2+y
2)在Oxy面上方的部分,f(x,y,z)=1.
解:∑在Oxy面上的投影域为D
xy:x
2+y
2≤2
8. 计算
,Ω为柱面
及平面z=0,z=a(a>0),y=0所围成的区域.
解:Ω在xOy平面上的投影区域D由
,y=0围成,利用
柱面坐标系,即
及θ=0.
故
9. 解方程y"-2y'-3y=2x+1.
解:该方程对应的齐次方程为y"-2y'-3y=0,特征方程为r
2-2r-3=0,特征根为r
1=3,r
2=-1于是齐次方程通解为
设非齐次特解为y*=ax+b代入原方程得
故原方程的一个特解为
从而原方程的通解为
10. 将函数
展开成x的幂级数,并求收敛区间.
11. 求幂级数
的收敛区间.
解:
∴收敛半径
,又x=±1时
收敛故收敛区间为[-1,1].
12. 求微分方程
满足条件y|
x=1=1的特解.
解:将方程变形为
方程的通解为
,将条件y|
x=1=1代入,得
所以所求特解为
四、综合题1. 要用铁板做一个体积为8m
3的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省.
解:设水箱的长为x(m),宽为y(m),则其高应为
,从而水箱的表面积S应为
得驻点(2,2)
由题意知,水箱所用材料的最小值一定存在,并在开区域D:x>0,y>0内取得,又函数在D内只有唯一驻点(2,2),故(2,2)即为S的最小值点,即当水箱长为2m,宽为2m,高为
时,水箱用料最省.
3. 证明曲线积分∫
L(x+y)dx+(x-y)dy在整个Oxy面内与路径无关,并计算积分值
解:P'
y=1=Q'
x,所以线积分与路径无关。