第Ⅰ部分 选择题
一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的)
2. 已知z=ylnxy,则
______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 因为z=ylnxy,所以
4. 下列微分方程中属于可分离变量的微分方程是______
A.
B.(x-xy
2)dx+(y+x
2y)dy=0
C.
D.
A B C D
B
[解析]
故B项为可分离变量的微分方程.
第Ⅱ部分 非选择题
二、填空题1. 点P(-3,4,-5)到x轴的距离为______.
2. 已知
则f(x,y)=______.
[解析] 令
3. 设积分区域D:|x|+|y|≤a,且二重积分
则常数a=______.
4. 微分方程y"-y=e
3x的特解y
*=______.
[解析] y"-y=e
3x对应的齐次方程为y"-y=0,其特征方程为r
2-1=0,r
1=1,r
2=-1,所以该非齐次微分方程的特解为y
*=C
1e
3x,代入y"-y=e
3x得
即原微分方程的特解为
5. 已知无穷级数
则u
n=______.
三、计算题(每小题5分,共60分)
1. 求过点B(4,1,2)并且与平面2x+3y-z-5=0平行的平面方程.
解:∵所求平面与2x+3y-z-5=0平行,
∴所求平面法向量为n={2,3,-1},
又过点B(4,1,2),则所求平面方程为
2(x-4)+3(y-1)-(z-2)=0.
即为:2x+3y-z-9=0.
2. 已知函数
求全微分dz.
3. 求空间曲线x=3cost,y=3sint,z=4t在对应于
的点处的切线方程.
解:∵x'=-3sint,y'=3cost,z'=4,
∴当
时,切向量
又
对应曲线上点
∴所求切线方程为:
4. 求函数f(x,y,z)=x-y+x
2yz+2z在点P
0(-1,1,2)处的梯度gradf(-1,1,2).
解:
gradf(x,y,z)={1+2xyz,-1+x
2z,x
2y+2},
则gradf(-1,1,2)={-3,1,3}.
5. 计算二重积分
其中积分区域D是由x=y,x=y+1,x=1及x=2所围成的.
6. 计算三重积分
其中积分区域Ω:x
2+y
2+z
2≤1,z≥0.
7. 计算对弧长的曲线积分
其中C为从点A(0,-1)到点B(-3,0)的直线段.
8. 计算对坐标的曲线积分∫
C(x+1)dx+ydy,其中C是曲线
上从点A(1,0)到点B(-1,0)的一段弧.
解:
则参数方程为:x=cosθ,y=sinθ,θ:0→π.
9. 求微分方程
的通解.
即为所求通解.
10. 求微分方程y"+3y'+2y=0的通解.
解:特征方程为:r2+3r+2=0,特征根r1=-1,r2=-2,
所求通解为:y=C1e-x+C2e-2x.
11. 判断无穷级数
的敛散性.
12. 已知f(x)是周期为2π的周期函数,它在[-π,π)上的表达式为f(x)=x+1,求f(x)傅里叶级数
中的系数a
4.
四、综合题(每小题5分,共15分)
1. 求函数f(x,y)=x
2+y
2在约束条件
下的极值.
解:将
代入f(x,y)=x
2+y
2,令
由
得g(x)的驻点
由g"(x0)=4>0,得x
0是g(x)的极小值点.
从而函数f(x,y)=x
2+y
2在条件
下
在点
处取得极小值为
2. 证明曲线积分∫
C(e
ycosx+20e
x)dx+(e
ysinx+14cosy)dy在整个xOy面内与路径无关.
证明:设P(x,y)=e
ycosx+20e
x,Q(x,y)=e
ysinx+14cosy,
3. 将函数
展开为a的幂级数.