第Ⅰ部分 选择题
一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的)
3. 设积分区域D是由
及y=0所围成,二重积分
化为极坐标下的二次积分为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 因为
则x
2+y
2=4且x>0,故
5. 幂级数
的收敛域是______
- A.[-3,3]
- B.(-3,3)
- C.[-2,4]
- D.(-2,4)
A B C D
D
[解析] 因为
所以
则当|x-1|<3,即-2<x<4时,原幂级数收敛.当x=-2时,
则原级数发散;当x=4时,
则原级数发散.故幂级数
的收敛域为(-2,4).
第Ⅱ部分 非选择题
二、填空题1. 已知向量α={4,0,3},β={2,1,5},则(-3α)×β=______.
{9,42,-12}
[解析]
2. 已知函数z=y
3e
x,则
3. 二次积分
的值是______.
[解析]
4. 微分方程xdx+ydy=0的通解为______.
5. 无穷级数
的和S=______.
[解析]
三、计算题(每小题5分,共60分)
1. 求直线
和直线
的夹角θ.
2. 已知函数z=f(2xy,e
x2y),其中f为可微函数,求
3. 求曲线x=2sint,y=6cost,z=-4sin
2t在对应于
的点处的法平面方程.
解:
∴曲线在对应于
的点处的法平面的法向量为
又曲线对应于
的点为
从而所求法平面方程为
4. 问在空间的哪些点上,函数u=x
3+y
3+z
3=3xyz的梯度平行于y轴.
解:
则gradu={3x
2-3yz,3y
2-3xz,3z
2-3xy}.
又y轴上单位向量为{0,1,0},且梯度平行于y轴,
则
所以
即在曲线
上的点处,函数u的梯度平行于y轴.
5. 计算二重积分
其中积分区域D:x
2+y
2≤9.
6. 计算三重积分
其中积分区域Ω:x
2+y
2≤1,0≤z≤2.
解:∵Ω:x
2+y
2≤1,0≤z≤2,
7. 计算对弧长的曲线积分∫
C(x
2+y
2)
3ds,其中C是曲线
解:∵曲线C:x
2+y
2=2,x≥0,
8. 计算对面积的曲面积分
其中∑是平面x+y+z-1=0在第一卦限中的部分.
10. 求微分方程y"+y=0的通解.
解:所给微分方程的特征方程为:r2+1=0,
则其根r1=-i,r2=i.
从而所求通解为y=C1cosx+C2sinx.
11. 判断无穷级数
是否收敛,如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?
12. 已知周期为2π的周期函数f(x)在[-π,π)上的表达式为
是f(x)傅里叶级数
的和函数,求S(5π).
解:∵f(x)以2π为周期且在点x=5π处不连续,
四、综合题(每小题5分,共15分)
1. 将数a
2分为三个正数之和,使得它们的乘积最大.
解:设所求三个正数为x,y,z,则x+y+z=a
2,
令S=xyz,则可设F(x,y,z)=xyz+λ(x+y+z-a
2),
令F
x=yz+λ=0,
F
y=xz+λ=0,
F
z=xy+λ=0,
x+y+z=a
2,
可解得
则三个正数均为
时,它们的乘积最大.
2. 验证(5x
4+3xy
2-y
3)dx+(3x
2y-3xy
2+y
2)dy在整个Oxy平面内是某一个二元函数u(x,y)的全微分,并求这样的一个u(x,y).
解:设P(x,y)=5x
4+3xy
2-y
3,Q(x,y)=3x
2y-3xy
2+y
2,
在整个Oxy平面内成立.
∴P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个Oxy平面内是某个二元函数的全微分.
3. 将函数
展开为(x+1)的幂级数.