三、计算题(每小题6分,共48分)1. 求极限
解:
2. 求微分方程y'+xy=0的通解.
解:分离变量得
两端积分
所给微分方程的通解为
(其中C为任意常数)
3. 设y=y(x)是由方程xy=e
x+y确定的隐函数,求dy.
解:方程两边同时对x求导得
y+xy'=e
x+y(1+y'),
4. 求曲线y=xe
x+1在点(0,1)处的切线方程和法线方程.
解:y'=ex+xex,
所求切线的斜率k=y'|x=0=1.
所求切线的方程为y-1=x,
即x-y+1=0.
所求法线的方程为y-1=-x,
即x+y-1=0.
5. 求不定积分∫cosx(tanx+secx)dx.
解:∫cosx(tanx+secx)dx=∫(sinx+1)dx
=-cosx+x+C.
6. 确定函数y=3x
4-4x
3+1的单调区间.
解:函数y=3x
4-4x
3+1的定义域为(-∞,+∞),
y'=12x
3-12x
2=12x
2(x-1).
令y'=0,得x
1=0,x
2=1,
列表:
x
|
(-∞,0)
|
0
|
(0,1)
|
1
|
(1,+∞)
|
f'(x)
|
-
|
0
|
-
|
0
|
+
|
f(x)
|
↘
|
|
↘
|
|
↗
|
所以y=3x
4-4x
3+1在(-∞,1)内单调减少;
在(1,+∞)内单调增加.
7. 计算定积分
解:
8. a,b取何值时,齐次方程组
有非零解?
解:当方程组的系数行列式|A|=0时,齐次方程组有非零解,
由|A|=0,得a=1或b=0,
因此当a=1或b=0时,所给齐次方程组有非零解.