第Ⅰ部分 选择题
一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的.) 第Ⅱ部分 非选择题
二、填空题1. 已知向量α={3,1,5},β={2,0,-2},则α+3β=______.
{9,1,-1}
[解析] α+3β={3,1,5}+3{2,0,-2}={9,1,-1}.
2. 已知函数z=x
2e
y,则
2xey
[解析]
3. 二次积分
的值是______.
12
[解析]
4. 微分方程y"=3x
2+1的通解y=______.
[解析] y"=3x
2+1,则y'=x
3+x+C
1,则
5. 无穷级数
的和S=______.
[解析]
三、计算题(每小题5分,共60分)1. 求直线
的方向向量v.
解:∵n
1={1,-1,1},n
2={2,1,-3},
∴可取v=n
1×n
2 =2i+5j+3k.
2. 已知函数z=f(x
2+y
3),其中f为可导函数,求
.
解:
3. 求曲线
在对应于t-1的点处的法平面方程.
解:因为
所以在t=1对应点处法平面的法向量为{-1,-2,-3}.
又t=1对应点的坐标为(1,1,1),所以所求法平面方程为
-(x-1)-2(y-1)-3(z-1)=0,
即x+2y+3z-6=0.
4. 问在空间哪些点上,函数u=x
2+y
2+z
2-2xyz的梯度平行于z轴.
解:z轴单位向量是{0,0,1},
函数u在(x,y,z)点的梯度为
gradu={2x-2yz,2y-2xz,2z-2xy},
由题意gradu与{0,0,1}平行,满足
即曲线
上的点均是所求点.
5. 计算二重积分
,其中积分区域D:x
2+y
2≤2.
解:
6. 计算三重积分
,其中积分区域Ω:x
2+z
2≤1,|y|≤2.
解:∵Ω关于三个坐标面分别对称,
记Ω
1:x
2+z
2≤1,z≥0,z≥0,0≤y≤2,则
7. 计算对弧长的曲线积分
,其中C是从点A(1,1)到点B(3,3)的直线段.
解:C:y=x,1≤x≤3,
8. 计算对面积的曲面积分
,其中∑是以O(0,0,0)为球心,a为半径的上半球面.
解:∑在Oxy平面的投影区域为D
xy:x
2+y
2≤a
2,
9. 求微分方程
的通解.
解:分离变量得
两端积分得ln(1+y)=ln(1+x)+lnC,
所以通解为:y=C(1+x)-1.
10. 求微分方程y"+2y'+y=0的通解.
解:微分方程的特征方程为r2+2r+1=0,
解得r1=r2=-1,
所以微分方程通解为y=(C1+C2x)e-x.
11. 判断无穷级数
是否收敛,如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?
解:一般项为
是p级数,p>1,
收敛,从而原级数
收敛.
且
绝对收敛.
12. 已知周期为2π的周期函数f(x)在[-π,π)上的表达式为
S(x)是f(x)的傅里叶级数
的和函数,求s(-3π).
解:∵x=-3π是f(x)的间断点,
∴S(-3π)=S(-π)
四、综合题(每小题5分,共15分)1. 造一个容积为64m
3的长方体有盖容器,应如何选择容器尺寸可使得用料最省?
解:设长方体的长、宽、高分别为x,y,z(单位:m),则容积v=xyz=64m
3,用料即为面积S=2xy+2yz+2xz.
设F(x,y,z,λ)=xy+yz+xz+λ(xyz-64),
解得x=y=z=4,由于(4,4,4)是唯一驻点,所以当长、宽、高均为4m时,容器用料最省.
2. 验证(x+3y)dx+(3x+y)dy在整个Oxy平面内是某个二元函数u(x,y)的全微分,并求这样的一个u(x,y).
解:P(x,y)=x+3y,Q(x,y)=3x+y,
∵在整个Oxy平面内,
∴(x+3y)dx+(3x+y)dy在整个Oxy平面内是某个二元函数u(x,y)的全微分.
可取