第Ⅰ部分 选择题
一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的.)2. 极限
______
A.等于0
B.等于1
C.等于
D.不存在
A B C D
A
[解析] 当x→0,y→3时
,故有
5. 幂级数
的收敛域是______
- A.(-3,3]
- B.[-3,3)
- C.(-3,3)
- D.[-3,3]
A B C D
B
[解析] 令
,故有
,故幂级数的收敛半径R=3,当x=3时,
发散,当x=-3时,
收敛,因此原幂级数的收敛域为[-3,3).
第Ⅱ部分 非选择题
二、填空题1. 已知向量α={2,-4,a},β={1,-2,-3},且α×β=0,则常数a=______.
-6
[解析] α×β=0,则α∥β,故
,则a=-6.
2. 已知函数u=xy
2,则
3. 二次积分
的值是______.
[解析]
4. 微分方程y"=e
2x的通解y=______.
[解析] 对y"=e
2x两边积分得
,再次对其进行两边积分得
5. 无穷级数
的和S=______.
三、计算题(每小题5分,共60分)1. 已知直线L经过点P
1(1,-1,3)和P
2(2,3,-5),求直线L的方程.
解:∵L的方向向量
∴L的方程为:
2. 已知函数z=f(ysinx,xcosy),其中f为可微函数,求
解:
3. 求曲线x=3t
2,
在对应于t=1的点处的法平面方程.
解:因为
且曲线上对应于t-1的点为(3,4,0),该点处的法平面的法向量为
,
所以该点处的法平面方程为
,
即24x-20y-z+8=0.
4. 问在空间的哪些点上,函数u=x
3+y
3+z
3-3xyz的梯度垂直于x轴.
解:ux=3x2-3yz,uy=3y2-3xz,uz=3z2-3xy,
则gradu=(3x2-3yz,3y2-3xz,3z2-3xy},
又x轴上单位向量e={1,0,0},则
gradu·e=0,即3x2-3yz=0,
所以在空间曲面x2=yz的点处,函数u的梯度垂直于x轴.
5. 计算二重积分
,其中积分区域D:x
2+y
2≤3.
解:
6. 计算三重积分
,其中积分区域Ω:|x|≤2,|y|≤2,|z|≤2.
解:Ω
1:0≤x≤2,0≤y≤2,0≤z≤2.
7. 计算对弧长的曲线积分
,其中C是曲线
解:曲线C:x
2+y
2=9,y≥0.
=e
3∫
cds
=3πe
3.
8. 计算对面积的曲面积分
,其中∑是平面x+y+2z-1=0在第一卦限中的部分.
解:∑:x+y+2z-1=0,即x+y+2z=1,则
,
D
xy:0≤x≤1,0≤y≤1-x,
9. 求微分方程
的通解.
10. 求微分方程y"-y=0的通解.
解:所给微分方程的特征方程为r2-1=0,
其根为r1=-1,r2=1.
则所求通解为y=C1e-x+C2ex.
11. 判断无穷级数
是否收敛,如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?
解:
为交错级数.
∵
,又
∴
收敛.
又
发散.
从而
条件收敛.
12. 已知周期为2π的周期函数f(x)在[-π,π)上的表达式为
S(x)是f(x)傅里叶级数
的和函数,求S(-5π).
解:∵f(x)为2π为周期的周期函数,又-5π为f(x)的间断点,
∴S(-5π)=S(π)
四、综合题(每小题5分,共15分)1. 证明球面x
2+y
2+z
2=R
2上任意点处的法线过球心.
证明:设F(x,y,z)=x
2+y
2+z
2-R
2,则球面上任意点(x
0,y
0,z
0)处的法线的方向向量为{2x
0,2y
0,2z
0},
从而法线方程为:
又球心(0,0,0)满足法线方程,则法线过球心.
2. 验证y
2dx+2xydy在整个oxy平面内是某个二元函数u(x,y)的全微分,并求这样的一个u(x,y).
解:设P(x,y)=y
2,Q(x,y)=2xy.
∵
在整个oxy平面内成立,
∴y
2dx+2xydy在整个oxy平面内是某个二元函数u(x,y)的全微分.
且可取
3. 将函数
展开为(x+1)的幂级数.
解: