第Ⅰ部分 选择题
一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的.)5. 幂级数
的收敛域是______
- A.(-2,2)
- B.[-2,2]
- C.(0,4)
- D.[0,4]
A B C D
C
[解析] 令
,则
,故其收敛半径
.即当|x-2|<2时,幂级数收敛,此时0<x<4.当x=0时,原级数化为
发散,当x=4时,原级数化为
,发散.故原级数的收敛域为(0,4).
第Ⅱ部分 非选择题
二、填空题1. 已知向量α={2,a,-3},β={1,-1,-1},且α·β=0,则常数a=______.
5
[解析] α·β=2×1+a×(-1)+(-3)×(-1)=0,故a=5.
2. 已知函数z=x
2y,则
3. 二次积分
的值是=______.
[解析]
4. 微分方程ydx+xdy=0的通解是______.
xy=C
[解析] 对ydx+xdy=0分离变量可得
,两边积分得ln|y|=-ln||x|+ln|C
1|,即ln|xy|=ln|C
1|,即xy=±C
1,令C=±C
1,则有xy=C.
5. 无穷级数
的和s=______.
[解析]
,易知原级数为首项
,公比
的等比数列.其和
三、计算题(每小题5分,共60分)1. 已知平面π经过点P
0(-1,1,2),并且与平面2x-3y+6z-3=0平行,求平面π的方程.
解:平面法向量n={2,-3,6},
所以所求平面方程为2(x+1)-3(y-1)+6(z-2)=0,
即2x-3y+6z-7=0.
2. 已知函数u=f(xlny,y
2lnx),其中厂为可微函数,求
.
解:设u=f(v,w),其中u=xlny,w=y
2lnx,
则
3. 求曲线x=t+sint,y=t+cost,z=2t+3,在对应于t=0的点处的切线方程.
解:因为x'=1+cost,y'=1-sint,z'=2,
所以在t=0对应点处切线方向向量为{2,1,2}.
又t=0对应点的坐标为(0,1,3),所以所求切线方程为
4. 问在空间的哪些点上,函数u=x
3+y
3+z
3-3xyz的梯度平行于x轴.
解:x轴单位向量是{1,0,0},函数u在(x,y,z)点的梯度为
gradu={3x
2-3yz,3y
2-3xz,3z
2-3xy},
由题意gradu与{1,0,0}平行,满足
即曲线
上的点均是所求点.
5. 计算二重积分
,其中积分区域D:x
2+y
2≤1.
解:因为积分区域D:x
2+y
2≤1关于y=0对称,所以
6. 计算三重积分
,其中积分区域Ω:x
2+y
2+z
2≤3.
解:
7. 计算对弧长的曲线积分∫
Cy
2ds,其中C是曲线
解:
8. 计算对面积的曲面积分
,其中∑是平面2x+y+2z-1=0在第一卦限中的部分.
解:
,在Oxy面上投影D
xy,0≤y≤1-2x,
则
10. 求微分方程y"+y'-12y=0的通解.
解:∵微分方程的特征方程为r2+r-12=0,
特征根为r1=-4,r2=3,
∴通解为:y=C1e-4x+C2e3x.
11. 判断无穷级数
是否收敛,如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?
12. 已知周期为2π的周期函数f(x)在[-π,π)上的表达式为
S(x)是f(x)傅里叶级数
的和函数,求S(3π).
解:因为x=3π是f(x)的间断点,所以S(3π)=S(π)
四、综合题(每小题5分,共15分)1. 用钢板造一个表面积为27m
2的长方体容器,应如何选择容器尺寸才可使容器的容积最大?并求最大容积.
解:设长方体的长、宽、高分别为x,y,z(单位:m),则
2xy+2yz+2xz=27,容积为V=xyz.
设
解得
,由于
是唯一驻点,
所以当长、宽、高均为
时,容器的容积最大,最大容积为
.
2. 验证xy
2dx+x
2ydy在整个Oxy平面内是某个二元函数u(x,y)的全微分,并求这样的一个u(x,y).
解:P(x,y)=xy
2,Q(x,y)=x
2y,
∵在整个Oxy平面内,
.
∴xy
2dx+x
2ydy在整个Oxy平面内是某个二元函数u(x,y)的全微分.
且可取
3. 将函数f(x)=e
2x展开为x的幂级数.
解:∵