一、单项选择题在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的,请将其选出。 二、填空题1. 设向量α={-1,1,0},β={3,2,-1},则2α-β=______.
2. 已知f(xy,x-y)=(x+y)
2,则f(x,y)=______.
3. 设C:x+y=4(0≤x≤4),则对弧长的曲线积分
______.
4. 微分方程y'=2x满足初始条件y(0)=0的特解y
*=______.
5. 设函数f(x)是周期为2π的周期函数,f(x)的傅里叶级数为
,则f(x)的傅里叶系数a
1=______.
三、计算题每小题5分,共60分。1. 已知平面过点P
1(1,2,-1),P
2(0,-3,1)及P
3(3,2,0),求该平面方程.
解:
则所求平面方程为-5(x-3)+5(y-2)+10z=0
即 x-y-2z-1=0
3. 设函数z=e
2x+ycos(x-y),求全微分dz.
解:
4. 设方程z
x=y
z,确定函数z=z(x,y),求
.
解:设F(x,y,z)=z
x-y
z,则
F
x=z
x·lnz,F
z=xz
x-1-y
z·lny
从而
5. 设函数f(x,y)=5-x
2-y
2,求梯度
gradf(2,1).
解:
6. 计算二重积分
,其中积分区域D:x≥0,y≥0,x+y≤1.
解:由D:x≥0,y≥0,x+y≤1可得
7. 计算三重积分
,其中积分区域Ω:0≤x≤1,0≤y≤2,0≤z≤3.
解:由Ω:0≤x≤1,0≤y≤2,0≤z≤3,可得
8. 计算对坐标的曲线积分∫
C(x-2y)dx,其中C为从(-1,0)沿y=1-x
2到(1,0)的弧段.
解:
9. 求微分方程
满足初始条件y(0)=1的特解.
解:分离变量得
两端积分得arctany=arctanx+C
代入y(0)=1,则
,
从而所求特解为
.
10. 求微分方程y"+y'=0的通解.
解:特征方程为r2+r=0
其根为r1=-1,r2=0
则所求通解为y=C1e-x+C2
11. 判断无穷级数
的敛散性.
解:
又
,由比值审敛法可知所给级数收敛.
12. 将函数
展开为x的幂级数.
解: