一、单项选择题1. 在空间直角坐标系中,点(6,2,1)关于Oxy坐标面的对称点的坐标是______。
- A.(-6,-2,-1)
- B.(-6,-2,1)
- C.(6,2,-1)
- D.(6,-2,-1)
A B C D
C
[解析] 关于Oxy坐标面对称,只需要将第三个坐标(即z坐标)反号即可,即为(6,2,-1)。故本题选C。
3. 设积分区域D是由
及y=0所围成,二重积分
化为极坐标下的二次积分为______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 首先积分区域同时平方得:
x
2+y
2=3(y>0)可知以原点为圆心,半径为
的即与y=0相交后位于x轴上边的半圆(即第一二象限)故公式
,
则
故本题选C。
二、填空题1. 已知向量α={2,0,3},β{1,-1,5},且α×(2β)=_______。
2. 已知函数
_______。
2xcosy
[解析]
3. 二次积分
的值是_______。
4/3
[解析]
4. 微分方程y'=lnx的通解=_______。
xlnx-x+C
[解析]
5. 无穷级数
的和s=_______。
三、计算题每小题5分,共60分。1. 求直线
与平面π:2x+y+z-6=0的夹角φ。
解:∵S={1,-1,2},n={2,1,1},
且
所以
。
2. 已知函数
,其中f为可微函数,求
。
解:设u=f(v,w),其中v=xln
,w=yln
则
3. 求曲线
在对应于t=1的点处的切线方程。
解:因为x'=1,y'=2t,z'=3t
2,
所以在t=1对应点的切线的方向向量为{1,2,3},
又t=1对应点的坐标为(3,4,2),
所以所求切线方程为
。
4. 问在空间的哪些点上,函数
的梯度垂直于y轴。
解:y轴单位向量是{0,1,0}
雨数u在(x,y,z)点的梯度为
由题意{3x
2-3yz,-3y
2-3xz,-3z
2-3xy}·{0,1,0}=0
有-3y
2-3xz=0
即y
2=-xz
所以曲面y
2=-xz上的点均是所求点。
5. 计算二重积分
,其中积分区域D:x
2+y
2≤1。
解:
6. 计算三重积分
,其中积分区域Ω:|x|≤1,0≤y≤1,0≤z≤2。
解:
8. 计算对面积的曲面积分
,其中∑是平面x+y+z-2=0在第一象限中的部分。
解:Σ:z=2-x-y,在Oxy面上投影D
xy:0≤x≤2,0≤y≤2-x,
则
9. 求微分方程
的通解。
解:由通解公式得通解
10. 求微分方程
的通解。
解:特征方程为r2+4r+4=0,其根为r1=r2=-2,
所以通解为y=(C1+C2x)e-2x。
11. 判断无穷级数
是否收敛,如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛。
解:一般项
12. 已知周期为2π的周期函数f(x)在[-π,π)上的表达式为
S(x)是f(x)的傅里叶级数
的和函数,求S(-2π)。
解:因为x=-2π是f(x)的间断点,
四、综合题每小题5分,共15分。1. 证明圆柱面
上任意点处的法线与z轴相交。
证:设(x
0,y
0,z
0)是x
2+y
2=R
2上任意一点,在该点法向量为n={2x
0,2y
0,0},法线方程为
该法线与z轴相交于(0,0,z
0)点,
所以圆柱面上任一点处的法线与z轴相交。
2. 验证
在整个Oxy平面内是某个二元函数u(x,y)的全微分,并求这样的一个u(x,y)。
P(x,y)=ye
xy,Q(x,y)=xe
xy ∵在整个Oxy平面内,
,
∴ye
xydx+xe
xydy在整个Oxy平面内是某个二元函数u(x,y)的全微分
可取
3. 将函数
展开为(x-1)的幂级数。