一、单项选择题每小题3分,共15分。4. 下列微分方程中,属于一阶线性非其次微分方程的是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 对
变形,得
属于一阶线性非其次方程。故本题选B。
二、填空题1. 与向量
同方向的单位向量是_______。
[解析] 设与α同方向
且(a>0),因为是单位向量,则有
,解得:a=1/2,则
2. 设函数
则f(x,y)=_______。
xy
[解析] 根据
可看出,函数值为两个参数的乘积,即f(x,y)=xy。
3. 设积分区域D:
则二重积分
在极坐标下的二次积分为_______。
[解析] 可得积分区域D是一个以半径为3的圆,则在极坐标下表示为D:0≤θ≤2π,0≤r≤3则有:
4. 微分方程
的特解y
*=_______。
2
[解析] 简化微分方程,令
,则
因为y"=0,所以C=0,故取特解y
*=2.
5. 设函数f(x)是周期为2π的周期函数,f(x)的傅里叶级数为
则f(x)傅里叶系数a
0=_______。
π
[解析] 即
。
三、计算题每小题5分,共60分。1. 已知平面π
1:x+2y-z-2=0和平面π
2:2x+y+z-19=0,求这个平面的夹角θ。
解:法向量
夹角余弦
所以夹角θ=π/3
3. 设函数z=xsinx(x-2y),求全微分dz。
解:
所以dz=[sin(x-2y)+xcos(x-2y)]dx+[-2xcos(x-2y)]dy。
5. 设函数
求gradf(1,1,-1)。
解:
有gradf(x,y,z)={3x
2y+z
3,3y
2z+x
3,3xz
2+y
3}
所以gradf(1,1,-1)={2,-2,4}
6. 计算二重积分
,其中积分区域D是由y=1-x
2和x轴所围成的区域。
解:在直角坐标系中,区域D可表示为0≤y≤1-x
2,-1≤x≤1.
7. 计算对弧长的曲线积分
,其中C是y=x
2(0≤x≤1)一段弧。
解:
8. 计算对坐标的曲线积分
其中C是由(0,0)到(1,1)的直线段。
解:C的方程为y=x,x从0变到1,
9. 求微分方程
满足初始条件y(0)=1的特解。
解:分离变量得方程ydy=xdx
即y
2=x
2+C(C=2Co)
又因为y(0)=1,所以C=1
特解为:y
2=x
2+1
10. 求微分方程
的通解。
解:特征方程为r
2-1=0,特征根r
1=-1,r
1=1
所以方程的通解为
11. 判断无穷级数
的敛散性。
解:
根据比值审敛法可知,该级数收敛
12. 求幂级数
的和函数。
解:由于
,所以收敛半径R=1,
而
发散,
收敛,所以收敛域为[-1,1)