一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。)1. 对于事件A,B,C,下列命题不成立的是______
A.若A
B,则A∪B=B
B.若A
B,则AB=B
C.若A
B,则
D.若AB=
,且C
A则BC=
A B C D
8. 设总体X~N(0,1),X
1,X
2,…,X
n(n>1)为来自X的样本,
与S
2分别为样本均值与样本方差,则服从自由度为n-1的χ
2分布的统计量是______
A.(n-1)S
2 B.
C.S
D.
A B C D
9. 设总体X~N(0,σ
2),X
1,X
2,…,X
n(n>1)为来自X的样本,
为样本均值,则未知参数σ
2的无偏估计是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
二、填空题1. 已知
,则P(A∪B)=______.
2. 设随机事件A与B相互独立,
,则
=______.
[解析]
=1-P(A∪B)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]=1-
3. 甲、乙两人对弈一局,两人下成和棋的概率是
,乙获胜的概率是
,则甲获胜的概率是______.
4. 某射手射击所得环数X的分布律为
,如果命中8~10环为优秀,则这名射手射击一次为优秀的概率是______.
5. 设随机变量X~N(0,1),已知P{|X|>x}=0.05,P(X≤1.96}=0.975,则x=______.
6. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,随机变量Y服从二项分布
,且满足P{X=0}=P{Y=0},则λ=______.
ln4
[解析] 由于X~P(λ),
,P{X=0}=P{Y=0},所以有
,解得λ=ln4.
7. 设随机变量X服从参数为1的指数分布,则P{X≥2}=______.
e-2
[解析] 由于X~E(1),P(X≥2}=1-P{X<2}=1-(1-e-2)=e-2.
8. 设二维随机变量(X,Y)的分布律为
且P{Y=1}=0.6,则a=______,b=______.
0.3,0.2
[解析] 由分布律的性质可得a+b=1-0.1-0.4=0.5,而P{Y=1}=6+0.4=0.6,故b=0.2,a=0.3.
9. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
则当0<x<1时,X的概率密度f
X(x)=______.
2x
[解析] 当0<x<1时,
10. 设二维随机变量(X,Y)服从平面区域D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤3}上的均匀分布,则E(XY)=______.
11. 设总体X服从0—1分布,即P{X=1}=p,P{X=0}=1-p,(0<p<1).X
1,X
2,…,X
n为来自该总体的样本,令Y=X
1+X
2+…+X
n,则P{Y=n}=______.
12. 某理财产品每月的收益率X服从正态分布N(μ,0.2),现随机抽取5个月的收益率分别为-0.2,0.1,0.8,-0.6,0.9,则μ的置信度为0.95的置信区间为______.(附:
=0.975)
[-0.192,0.592]
[解析] 由于方差已知,故μ的置信度为0.95的置信区间为
,由题可知
=
,因此置信区间为
13. 设H
0是假设检验的原假设,显著性水平为0.05,则P{拒绝H
0|H
0成立}=______.
14. 设总体X~N(μ,4),X
1,X
2,…,X
16为来自X的样本,
为样本均值,则检验假设H
0:μ=μ
0;H
1:μ≠μ
0应采用的统计量表达式为______.
15. 设总体X~N(μ,σ
2),其中σ
2未知,X
1,X
2,…,X
n为来自X的样本,
为样本均值,S为样本标准差,检验假设H
0:μ=μ
0;H
1:μ≠μ
0,已知在H
0成立的条件下,
,则n=______.
三、计算题(每小题8分,共16分)1. 某在线支付设置的支付密码共有6位数字,每位数字都可从0~9中任选一个.某客户一次购物进行在线支付时,忘记了密码的最后一位数字.
求:
(1)任意选择最后一位数字,不超过2次就选正确的概率;
(2)如果该客户记得密码的最后一位是奇数,不超过2次选正确的概率.
解:设事件A表示“第i次选正确密码”(i=1.2),
A表示“不超过2次选正确密码”,B表示“最后一位选奇数”.
(1)
(2)
设总体X的概率密度为其中θ为未知参数(0<θ<1),X1,X2,…,Xn为来自该总体的样本,记N为样本在区间(0,1)内的个数(0<N<n),其余的样本均在区间[1,2)中.
求:3. θ的极大似然估计
.
解:似然函数为
对数似然函数为lnL(θ)=Nlnθ+(n-N)ln(1-θ),
所以θ的极大似然估计
五、应用题(10分)1. 某制药厂广告宣称某种药品的疾病治愈率为80%,药品主管部门随机抽查了100名服用此药的疾病患者,如果其中有超过75%的患者治愈就认为该广告宣称是真实的,否则为虚假广告.
求:
(1)若此药的实际治愈率为75%,不接受这一广告宣称的概率p
1;
(2)若此药的治愈率确为80%,接受这一广告宣称的概率p
2.
(附:
=0.8944)
解:设随机抽查的100名患者中被治愈的人数为X,p为治愈率,
则X~B(100,p),E(X)=100p,D(X)=100p(1-p).
(1)当p=0.75时,
(2)当p=0.8时,