一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。)6. 设连续型随机变量X的密度函数为
则常数C=______
A.
B.
C.
D.1
A B C D
B
[考点] 本题主要考查的知识点是随机变量密度函数的性质.
[解析] 由密度函数的性质知:
解得
10. 设x
1,x
2,…,x
n是来自总体X的样本,X~N(0,1),则
服从______
- A.χ2(n-1)
- B.χ2(n)
- C.N(0,1)
- D.N(0,n)
A B C D
B
[考点] 本题主要考查的知识点是标准正态分布序列样本平方和服从的分布.
[解析] 由x
1,x
2,…,x
n是来自总体X的样本,故x
1,x
2,…,x
n独立同分布于标准正态分布N(0,1),所以根据χ
2分布的定义知,
二、填空题1. 设总体X服从参数为λ的指数分布(λ>0),x
1,x
2,…,x
n为来自X的样本,其样本均值
=3,则λ的矩估计
=______.
2. 已知某种灯管的寿命X~N(μ,σ
2),今随机抽取4只灯管,测得寿命(单位:小时)为:1502,1413,1367,1560,则σ
2的矩估计为______.
5655.5
[考点] 本题主要考查的知识点是未知参数σ
2的矩估计.
[解析] 由矩法估计知
,将样本值代入,求出
3. 设
,则
=______.
[考点] 本题主要考查的知识点是概率的计算.
[解析]
,而P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=
,故
=1-
4. 设(X,Y)的概率密度为
则C=______.
1
[考点] 本题主要考查的知识点是概率密度的性质.
[解析]
5. x
1,x
2,…,x
n是总体X的样本,X服从[0,4θ]上的均匀分布,θ>0是未知参数,记
,则θ的无偏估计为______.
[考点] 本题主要考查未知参数的无偏估计.
[解析]
是2θ的无偏估计,故θ的无偏估计是
6. 设连续型随机变量X的分布函数为
设其概率密度为f(x),则f(1)=______.
2e-2
[考点] 本题主要考查的知识点是由已知的分布函数求概率密度.
[解析] 概率密度
故f(1)=2e
-2.
7. 若E(X)=μ,D(X)=σ
2(σ>0),由切比雪夫不等式估计概率P{μ-2σ<X<μ+2σ}≥______.
[考点] 本题主要考查的知识点是切比雪夫不等式.
[解析] P{μ-2σ<X<μ+2σ}
=P{|X-μ|<2σ}
8. 设总体X~N(μ,σ
2),x
1,x
2,x
3,x
4,x
5为来自总体X的样本,
服从自由度为______的χ
2分布.
4
[考点] 本题主要考查的知识点是卡方分布的自由度.
[解析] 由X~N(μ,σ
2)可知
χ
2(n-1)即
9. 设随机变量X的分布函数为
则P{2<X<4}=______.
0.5
[考点] 本题主要考查的知识点是随机变量分布函数概率的计算.
[解析] P{2<X<4}=F(4)-F(2)=0.7-0.2=0.5.
10. 样本来自正态总体N(μ,σ
2),当σ
2未知时,要检验H
0:μ=μ
0采用的统计量是______.
11. 已知D(X)=25,D(Y)=36,X与Y的相关系数ρ
XY=0.4,则D(X+Y)=______.
85
[考点] 本题主要考查的知识点是相关系数.
[解析] D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2ρ
XY·
·
=25+36+2×0.4×5×6=85.
12. 设X
1,X
2,…,X
n…是独立同分布的随机变量序列,且具有相同数学期望和方差E(X
i)=μ,D(X
i)=σ
2>0(i=1,2,…),则对于任意实数x,
=______.
13. 总体X~N(μ,σ
2),x
1,x
2,…,x
n为其样本,未知参数μ的矩估计为______.
[考点] 本题主要考查的知识点是未知参数的矩估计.
[解析]
∴μ的矩估计为
14. 设某个假设检验问题的拒绝域为W,且当原假设H
0成立时,样本值(x
1,x
2,…,x
n)落入W的概率为0.15,则犯第一类错误的概率为______.
15. 在一次考试中,某班学生数学和外语的及格率都是0.7,且这两门课是否及格相互独立,现从该班任选一名学生,则该生数学和外语只有一门及格的概率为______.
三、计算题(每小题8分,共16分)1. 设总体X服从指数分布,其密度函数为
其中λ>0为常数,x
1,x
2,…,x
n为其样本,试求λ的矩估计.
[考点] 本题主要考查的知识点是未知参数的矩估计.
2. 从一正态总体X中抽取容量为10的样本,假设样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的占2%,求总体的标准差.(附:
≈0.99)
设X~N(μ,σ
2),则
据题意,有
即
将n=10代入,得:
即
∴
,解得α=5.43.
[考点] 本题主要考查的知识点是独立同分布序列中心极限定理的应用.
四、综合题(每小题12分,共24分)1. 若(X,Y)的联合密度函数为
求:
(1)E(X);
(2)E(Y);
(3)E(XY).
[考点] 本题主要考查的知识点是二维随机变量的期望.
2. 设某种器件的使用寿命(单位:小时)服从指数分布,平均使用寿命为20小时,具体使用时,当一个器件损坏后立即更换一个新器件,如此继续,假定一年内需用2000个工作小时.
(1)求100个这样的器件够用一年的概率;
(2)要以95%的把握够用一年,至少需要多少个这种器件?(附:
≈0.95)
记X
i为第i个器件的寿命,i=1,2,…n,则X
i服从参数
的指数分布.
∴E(X
i)=20,D(X
i)=20
2.
设n个器件的总使用时间为
近似地,X~N(20n,400n).
(1)n=100,所求概率为
(2)欲满足P{X≥2000)=0.95,即
由于
(0)=0.5>0.05,故
只需
即
,解得n≥117.9,
取n=118即可.
[考点] 本题主要考查的知识点是拉普拉斯中心极限定理的应用.
五、应用题(10分)1. 某灯箱广告牌上有七只灯棒分成两排,第一排三只,第二排四只.设X,Y分别表示在某一规定时间内第一排和第二排烧坏的灯棒数,且(X,Y)取任一可能值的概率相等,试写出(X,Y)的分布律,并求下列事件的概率:
在规定时间内:
(1)第一排烧坏的灯棒不超过一个;
(2)两排烧坏的灯棒数相等;
(3)第一排烧坏的灯棒数不超过第二排烧坏的灯棒数.
X的可能取值为0,1,2,3,Y的可能取值为0,1,2,3,4,故(X,Y)的可能取值共有20个,又由(X,Y)取任一可能值的概率相等,所以(X,Y)的分布律为P{X=i,Y=j}=
=0.05,i=0,1,2,3,j=0,1,2,3,4.
写成列表形式:
(1)
(2)
(3)
[考点] 本题主要考查的知识点是二维随机变量的联合分布律及其概率运算.