一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。)1. 设X
i~N(μ,σ
2)且X
i相互独立,i=1,2,…,n,对任意ε>0,
所满足的切比雪夫不等式为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 本题主要考查的知识点是切比雪夫不等式.
[解析] 由已知得:E(X
i)=μ,D(X
i)=σ
2,
则X所满足的切比雪夫不等式为
2. 设随机变量X的分布律为
则常数α=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 本题主要考查的知识点是随机变量分布律的性质.
[解析] 由分布律的性质知:1=
α.解得
3. 若随机变量X服从泊松分布P(3),则
=______
A.1
B.
C.
D.3
A B C D
A
[考点] 本题主要考查的知识点是常用分布的期望、方差.
[解析] 由泊松分布的期望E(X)=λ,方差
5. 设随机变量X
1,X
2,…,X
n…相互独立,且X
i(i=1,2,…,n,…)都服从参数为1的泊松分布,则当n充分大时,随机变量
的概率分布近似于正态分布______
A.N(1,1)
B.N(1,n)
C.
D.
A B C D
6. 设总体X服从泊松分布,
,k=0,1,2…,其中λ>0为未知参数,x
1,x
2,…,x
n为X的一个样本.
下面说法中错误的是______
A.
是E(x)的无偏估计
B.
是D(x)的无偏估计
C.
是λ的矩估计
D.
是λ
2的无偏估计
A B C D
B
[考点] 本题主要考查无偏估计的应用.
[解析] 由总体X服从泊松分布,x
1,…,x
n为样本,则
因
,故
是E(x)的无偏估计,A选项正确;
因
,故
是D(x)的无偏估计,B选项正确;
因E(x)=λ,即λ=E(x),故λ的矩估计为
,C选项正确;
因E(x)=λ≠λ
2,所以
不是λ
2的无偏估计,故D选项错误.
7. 从一批零件中随机抽出100个测量其直径,测得的平均直径为5.2cm,标准方差为1.6cm,若想知这批零件的直径是否符合标准直径5cm,因此采用了t检验法,那么,在显著性水平a下,接受域为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[考点] 本题主要考查的知识点是单个正态总体均值假设检验中t检验法的接受域.
[解析] 单个正态总体均值的假设检验中,t的拒绝域为
,所以接受域为
9. 样本x
1,x
2,…,x
n取自总体X,且E(X)=μ,D(X)=σ
2,则总体方差σ
2的无偏估计是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
10. 若随机变量X的方差存在,a>0,由切比雪夫不等式可得
≤______
A.D(X)
B.1
C.
D.a
2D(X)
A B C D
C
[考点] 本题主要考查的知识点是伯努利大数定律的应用.
[解析] ∵随机变量X的方差存在,∴对任意小正数ε>0,有
特别地,取ε=α,则
即
二、填空题1. 设总体X~N(μ,5),x
1,x
2,x
3,x
4,x
5为其一个样本,
,则
=______.
1
[考点] 本题主要考查的知识点是样本均值的方差.
[解析] 总体分布为N(μ,σ
2),则x的精确分布为
2. 设随机变量X的分布律为
,F(x)是X
2的分布函数,则F(0)=______.
[考点] 本题主要考查的知识点是随机变量分布函数概率的计算.
[解析] X
2的分布律为
,F(0)=P(X≤0}=P{X=0}=
3. 设x
1,x
2,…,x
n为来自N(μ,σ
2)的样本,则
=______.
4. 设总体X~N(1,5),x
1,x
2,…,x
20为来自X的样本,
,则
=______.
5. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且满足P{X=2}=P{X=3},则P{X=4}=______.
[考点] 本题主要考查的知识点是泊松分布慨率的计算.
[解析] X~P(λ).由于P{X=2}=P{X=3},则有
.所以有λ=3,因此
6. 设x
1,x
2,…,x
10为来自正态总体
的样本,其中
已知,
为样本均值,若检验假设H
0:μ=100,H
1:μ≠100,则应采用的检验统计量的表达式为______.
7. 已知随机变量X的分布律为
则常数a=______.
0.1
[考点] 本题主要考查的知识点是随机变量分布律的性质.
[解析] 由分布律的性质知:2a+0.1+0.3+a+0.3=1,解得a=0.1.
8. 设总体X~N(μ,1),-∞<μ<+∞,x
1,x
2,x
3为其样本,已知
,
都是μ的无偏估计,二者相比______更有效.
[考点] 本题主要考查的知识点是未知参数无偏估计的有效性.
[解析]
而
的方差更小,故
更有效.
9. 在1000次投硬币的实验中,X表示正面朝上的次数,假设正面朝上和反面朝上的概率相同,则由切比雪夫不等式估计概率P{400<X<600}≥______.
[考点] 本题主要考查的知识点是切比雪夫不等式的应用.
[解析] 易知X~B(1000,0,0.5),而P{400<X<600}=P{|X-500|<100},由切比雪夫不等式知P{|X-500|<100}≥1-
10. 从1,2,…,10这十个自然数中任取三个数,则这三个数中最大的为3的概率是______.
[考点] 本题主要考查的知识点是概率的计算.
[解析] 从1,2,…,10这十个自然数中任取三个数,共有
种取法,即基本样本点数n=
,设三个数中最大的为3的事件为A,则A只能包含1、2、3这一种情况.即A包含的事件数r=1.所以,
11. 某特效药的临床有效率为0.95,今有100人服用,设X为100人中被治愈的人数,则X近似服从正态分布______.
N(95,4.75)
[考点] 本题主要考查的知识点是棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理.
[解析] 由已知可得X~B(100,0.95),利用棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理的结论可知,X近似服从正态分布N(np,npq).即N(100×0.95,100×0.95×(1-0.95))=N(95,4.75).
12. 设(X,Y)服从区域D上的均匀分布,其中D={(x,y)|0<x<1,0<y<1},则(X,Y)的密度函数f(x,y)=______.
13. 如果
都是未知参数θ的无偏估计,称
有效,则
的方差一定满足______.
[考点] 本题主要考查的知识点是未知参数无偏估计的有效性.
[解析]
都是θ的无偏估计,则
=
=θ,则
有效,即为
14. 设(X,Y)的分布律为
则α+β=______.
0.6
[考点] 本题主要考查的知识点是联合分布律的性质.
[解析] 由(X,Y)分布律的性质知:0.16+0.24+α+β=1,解得α+β=1-0.16-0.24=0.6.
15. 已知随机变量X服从泊松分布,且D(X)=1,则P{X=1}=______.
e-1
[考点] 本题主要考查的知识点是常用分布的概率运算.
[解析] 由X服从泊松分布,可知D(X)=λ=1,所以,
四、综合题(每小题12分,共24分)1. 设总体X的概率密度为
x
1,x
2,…,x
50是来自总体X的样本,
试求:
(1)
(2)
.(附:
=0.5793)
[考点] 本题主要考查的知识点是样本均值的期望、方差及其慨率运算.
2. 在电压不超过200V,200~240V,超过240V三种情况下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2,若电源电压X~N(220,25
2),
求:
(1)元件损坏的概率a;
(2)元件损坏时,电源电压在200~240V的概率β.(附:
≈0.788)
设A
1={X≤200},A
2={200<X<240},A
3={X≥240},
B=“元件损坏”,则A
1、A
2、A
3构成电源电压的一个划分.
P(A
3)=1-P(A
1)-P(A
2)≈0.212.
(1)由全概率公式可得
α=P(B)
=P(A
1)P(B|A
1)+P(A
2)P(B|A
2)+P(A
3)P(B|A
3)
=0.212×0.1+0.576×0.001+0.212×0.2
=0.0642.
(2)
[考点] 本题主要考查的知识点是概率的计算及全概率公式、条件概率公式的应用.
五、应用题(10分)1. 独立地测量一个物理量,每次测量误差服从[-1,1]上的均匀分布,若取n次测量数据的平均值作为测量结果,求它与真值a的绝对误差小于ε(ε>0)的概率;(由中心极限定理计算)当ε=0.1,n=300时,此概率为多少?(附:
=0.9987)
用X
i表示第i次测量数据,X
i-a为第i次测量误差.i=1,2,…,n
∵X
i-a~U(-1,1),
即E(X
i)=a,
,令
由中心极限定理,近似地
当ε=0.1,n=300时,
[考点] 本题主要考查的知识点是切比雪夫不等式和中心极限定理的应用.