一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。)1. 若随机变量X的方差存在,由切比雪夫不等式可得P{|X-E(X)|≥1)≤______
A.D(X)
B.
C.εD(X)
D.
A B C D
A
[考点] 本题主要考查的知识点是切比雪夫不等式的应用.
[解析] ∵随机变量X的方差存在,∴对任意小正数ε>0,有
.特别地,取ε=1,则P(|X-E(X)|≥1}≤D(X).
3. 设总体X服从N(μ,σ
2),x
1,x
2,x
n为其样本,
为其样本均值,则
服从______
- A.χ2(n-1)
- B.χ2(n)
- C.t(n-1)
- D.t(n)
A B C D
A
[考点] 本题主要考查的知识点是统计量所服从的分布.
[解析] 由正态总体的抽样分布知,
4. 设x
1,x
2,…,x
36为来自总体X的一个样本,X~N(μ,36),则μ的置信度为0.90的置信区间长度为(u
0.05=1.645)______
A B C D
A
[考点] 本题主要考查的知识点是σ已知时,μ的置信区间长度.
[解析] 方差已知,单个正态总体均值检验用u检验法,由题意1-α=0.9,α=0.1,
=u
0.05=1.645,则有
,即
则置信区间长度为
=2×1.645=3.29.
6. 设总体X~N(μ,σ
2),σ
2未知,通过样本x
1,x
2,…,x
n检验H
0:μ=μ
0时,需要用统计量______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[考点] 本题主要考查的知识点是σ未知时单个正态总体均值检验采用的统计量.
[解析] σ未知时,单个正态总体均值的假设检验采用t检验法,检验用的统计量
8. 已知事件A与事件B互不相容,则下列结论中正确的是______
A.P(A+B)=P(A)+P(B)
B.P(AB)=P(A)·P(B)
C.A与
,
与B,
相互独立
D.P(A)=1-P(B)
A B C D
A
[考点] 本题主要考查的知识点是互不相容事件概率的相关运算.
[解析] 事件A与事件B互不相容,则P(AB)=0,则P(A+B)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),故A正确.选项B、C说明事件A与事件B相互独立,选项D表明事件A与事件B互为对立事件.
10. 总体X服从正态分布N(μ,1),其中μ为未知参数,x
1,x
2,x
3为样本,下面四个关于μ的无偏估计中,有效性最好的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 本题主要考查的知识点是无偏估计的有效性.
[解析] 由总体X服从正态分布N(μ.1),x
1,x
2,x
3为样本,所以D(x
i)=1,(i=1,2,3).
A选项:
B选项:
C选项:
D选项:
其中D选项的方差最小,所以D选项的有效性最好.
二、填空题1. 设总体X~N(0,0.25),x
1,x
2,…,x
7为来自总体的一个样本,要使
,则应取常数a=______.
4
[考点] 本题主要考查的知识点是χ
2分布.
[解析] 总体X~N(0,0.5
2),2x
i~N(0,1),
,故α=4.
2. 设随机变量X的分布律为
,k=1,2,3,4,5,则
=______.
[考点] 本题主要考查的知识点是概率密度的性质.
[解析]
3. 设X服从二项分布B(n,p),则D(X)-E(X)=______.
-np2
[考点] 本题主要考查的知识点是常用分布的数字特征.
[解析] 由X服从二项分布,得E(X)=np,D(X)=npq=np(1-p),所以D(X)-E(X)=np(1-p)-np=-np2.
4. 已知10件产品中有2件次品,从该产品中任意取3件,则恰好取到两件次品的概率为______.
[考点] 本题主要考查的知识点是概率的计算应用.
[解析] 恰好取到两件次品的概率=
5. 设总体X~N(0,σ
2),x
1,x
2,…,x
n为来自X的样本,
为样本均值,s
2为样本方差,则
=______.
6. X~N(μ,σ
2),x
1,x
2,…,x
n为其样本,σ
2已知时,置信度为1-a的μ的置信区间为______.
7. 设随机变量X~B(100,0.2),应用中心极限定理可得P{X≥30}≈______.(附
=0.9938).
8. 设X
1,X
2,…,X
n,…独立同分布,且E(X
k)=μ,D(X
k)=σ
2,k=1,2,…,则对任意ε>0,都有
=______.
9. 设X
1,X
2,…,X
100是独立同分布的随机变量序列,且具有相同的数学期望和方差E(X
i)=1000,D(X
i)=900(i=1,…,100),令
,则P{X≤99400}≈______.(附:
=0.9772)
0.0228
[考点] 本题主要考查的知识点是独立同分布序列中心极限定理的应用.
[解析] P{X≤99400}
10. 若事件A、B互不相容,则
=______.
1
[考点] 本题主要考查的知识点是互不相容事件概率的运算.
[解析] ∵A、B互不相容,即
,
11. 设X的分布律为
则E(X)=______.
1
[考点] 本题主要考查的知识点是随机变量的数学期望.
[解析] E(X)=-1×0.1+0×0.2+1×0.3+2×0.4=1.
12. 设总体X~N(μ,σ
2),x
1,x
2,…,x
n为其样本,
为样本均值,则
=______.
13. 设随机变量X的概率密度为
其中a>0.要使
则常数a=______.
3
[考点] 本题主要考查的知识点是概率的计算.
[解析]
解得a=3.
14. 随机变量X服从[a,b]上的均匀分布,若E(X)=3,
,则P{1≤X≤3}=______.
15. 设随机变量X服从参数为1的指数分布,则E(X
2)=______.
2
[考点] 本题主要考查的知识点是指数分布数学期望的计算.
[解析] 因为X~E(1),所以有E(X)=1,D(X)=1,而E(X2)=D(X)+[E(X)]2=2.
三、计算题(每小题8分,共16分)1. 某学校有1000名住校生,每人都以80%的概率去图书馆上自习,问图书馆至少应设多少个座位,才能以99%的概率保证去上自习的学生都有座位?(附:
≈0.99)
用X表示同时去上自习的人数,则X~B(1000,0.8),E(X)=800,D(X)=160,近似地,X~N(800,160).设有n个座位,欲使
P{X≤n}≥0.99.
即
只需
,n≥829.5,取n=830即可.
[考点] 本题主要考查的知识点是拉普拉斯中心极限定理的应用.
2. 某实验室有12台电脑,各台电脑开机与关机是相互独立的,如果每台电脑开机时间占总工作时间的
,试求在工作时间内任一时刻关机的电脑台数不超过两台的概率.
设X表示任一时刻开机的电脑台数,则X~B(12,0.8),
“关机的电脑台数不超过两台”,即开机的电脑大于等于10,即{X≥10},
P{X≥10}=P(X=10)+P{X=11}+P{X=12}
=
+(0.8)
12
≈0.558.
[考点] 本题主要考查的知识点是二项分布的应用.
五、应用题(10分)1. 假设按某种工艺生产的金属纤维的长度X(单位:mm)服从正态分布N(5.2,0.16),现在随机抽取15根纤维,测得它们的平均长度
,如果总体方差没有变化,可否认为现在生产的纤维平均长度仍为5.2mm?(α=0.05)
(附:u
0.025=1.96)
H
0:μ=5.2,H
1:μ≠5.2.
选取统计量u,
由已知
,n=15.
对α=0.05,
计算可得
故接受H
0即可认为平均长度仍为5.2mm.
[考点] 本题主要考查的知识点是σ已知时,正态总体均值μ的u检验法的应用.