一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。)1. 设总体X服从参数为λ的指数分布,其中λ>0为未知参数,x
1,x
2,…,x
n为其样本,
=
,下面说法中正确的是______
A.
是E(x)的无偏估计
B.
是D(x)的无偏估计
C.
是λ的矩估计
D.
是λ
2的无偏估计
A B C D
2. 某人打靶的命中率为0.8,现独立地射击5次,那么5次中有2次命中的概率为______
A.(0.8)
2×0.2
B.(0.8)
2 C.
D.
A B C D
D
[考点] 本题主要考查的知识点是二项分布的应用.
[解析] 设X为5次射击的命中次数,则X~B(5,0.8),所以所求概率为
.
3. 设(X,Y)的分布律为
下面错误的是______
A.p=0.1,q=0.1
B.
C.
D.
A B C D
C
[考点] 本题主要考查的知识点是二维随机变量分布律的性质.
[解析] 由二维分布律的性质知:0.1+p+q+0.2+0.2+0.3=1,化简得:p+q=0.2.逐一验证可知C选项不正确.
7. 设总体X服从区间[0,θ]上的均匀分布,θ>0,x
1,x
2,…,x
n为来自该总体的样本,
为样本均值,s
2为样本方差,则θ的极大似然估计为______
A.
B.s
2 C.min{x
1,x
2,…,x
n}
D.max{x
1,x
2,…,x
n}
A B C D
二、填空题1. 已知随机变量X~N(-3,1),Y~N(2,1),且X与Y相互独立,Z=X-2Y+7,则Z~______.
2. 设X表示10次独立射击时命中目标的次数,若每次击中目标的概率为0.4,则随机变量X
2的期望是______.
18.4
[考点] 本题主要考查的知识点是随机变量函数的数学期望.
[解析] 由已知可得X~B(10,0.4),E(X)=np=10×0.4=4,D(X)=npq=4×(1-0.4)=2.4,∴E(X2)=[E(X)]2+D(X)=16+2.4=18.4.
3. 设总体X~N(μ,σ
2),x
1,x
2,x
3,x
4为来自总体X的样本,
服从自由度为______的χ
2分布.
3
[考点] 本题主要考查的知识点是卡方分布.
[解析]
4. X服从参数为2的指数分布,Y服从参数为4的指数分布,则E(2X
2+3Y)=______.
5. 设总体X~N(μ,σ
2)(σ>0),x
1,x
2,…,x
n为其样本,则
=______.
6. 若X与Y独立,D(X)=2,D(Y)=1,则D(X-2Y+3)=______.
6
[考点] 本题主要考查的知识点是两随机变量函数的方差.
[解析] D(X-2Y+3)=D(X)+4D(Y)+D(3)=2+4+0=6.
7. 设随机事件A与B互不相容,P(A)=0.2,P(A∪B)=0.5,则P(B)=______.
0.3
[考点] 本题主要考查的知识点是互不相容两事件的相关运算.
[解析] ∵A与B互不相容.
∴
,∴P(AB)=0.
又由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(B)=P(A∪B)-P(A)=0.5-0.2=0.3.
8. 某工厂的次品率为5%,并且正品中有80%为一等品,如果从该厂的产品中任取一件来检验,则检验结果是一等品的概率为______.
0.76
[考点] 本题主要考查的知识点是乘法公式的应用.
[解析] 设取得一等品的事件为A,则P(A)=(1-5%)·80%=76%=0.76.
9. 若E(X)=μ,D(X)=σ
2(σ>0),由切比雪夫不等式可估计P{μ-3σ<X<μ+3σ}≥______.
[考点] 本题主要考查的知识点是切比雪夫不等式的应用.
[解析] P{μ-3σ<X<μ+3σ}=P{|X-μ|<3σ}≥
10. 某人射击一次的命中率为0.7,则他在10次射击中恰好命中7次的概率为(只写出表达式,不用计算最后结果)______.
(0.7)
7(0.3)
3[考点] 本题主要考查的知识点是二项分布的应用.
[解析] 由已知可得射击命中的次数服从二项分布B(10,0.7),故所求概率=
(0.7)
7(1-0.7)
3=
(0.7)
7(0.3)
3.
11. 若X与Y独立,且E(X)=E(Y)=0,D(X)=3,D(Y)=1,则E(X+Y)
2=______.
4
[考点] 本题主要考查的知识点是两随机变量函数的数学期望.
[解析] E(X+Y)2=E(X2+2XY+Y2)
=E(X2)+2E(XY)+E(Y2)
=[E(X)]2+D(X)+2E(X)·E(Y)+[E(Y)]2+D(Y)
=0+3+0+0+1=4.
12. 设随机变量X,Y相互独立,X~N(1,2),Y~N(3,4),则P{X+Y≤4}=______.
0.5
[考点] 本题主要考查的知识点是两个相互独立的连续型随机变量之和的概率分布.
[解析] 因为X~N(1,2),Y~N(3,4),且X,Y相互独立,则X+y~N(4,6),故P{X+Y≤4}=0.5.
13. 一口袋装有3只红球,2只黑球,今从中任取出2只球,则这2只球恰为一红一黑的概率是______.
0.6
[考点] 本题主要考查的知识点是概率的计算应用.
[解析] 任取两球共有
种取法,一红一黑共有
种不同的取法,
故所求概率为
14. 设(X,Y)服从区域D上的均匀分布,其中D是一个以原点为圆心,以R为半径的圆域,则(X,Y)的密度函数f(x,y)=______.
[考点] 本题主要考查的知识点是均匀分布的密度函数.
[解析] 设D的面积为S,则S=πR
2,所以(X,Y)的概率密度为
15. 设总体X~N(μ,σ
2),x
1,x
2,…,x
n为其样本,其中σ
2未知,对假设H
0:μ=μ
0,H
1:μ≠μ
0,在显著性水平α下,应取拒绝域为______.
三、计算题(每小题8分,共16分)1. 某乘客在一车站等车去M地,已知公共汽车每隔5分钟有一趟经过该站,求该乘客在这个车站等车的时间不超过3分钟的概率.
设X表示乘客的等车时间,则由已知可得X~U(0,5).
∴X的概率密度为
[考点] 本题主要考查的知识点是均匀分布及其概率运算.
2. 某车间有5台同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为10千瓦,已知每台机床工作时,平均每小时实际开动20分钟(即
的时间用电),且开动与否相互独立,现因电力紧张,供电部门只提供30千瓦的电力给这5台机床.问这5台机床能正常工作的概率为多大?
设A
k表示5台机床中同时开动k台,则
所求概率为
[考点] 本题主要考查的知识点是伯努利概型的概率运算.
四、综合题(每小题12分,共24分)设二维随机变量(X,Y)的分布律为
求:1. Z=X+Y的分布律;
Z=X+Y的可能取值为:
-30,-20,-10,0,10.
分布律为
[考点] 本题主要考查的知识点是两随机变量函数的分布律.
2. Z=X-Y的分布律.
Z=X-Y的可能取值为:
-40,-30,-20,-10,0.
分布律为
[考点] 本题主要考查的知识点是两随机变量函数的分布律.
3. 设随机变量X与Y相互独立,且X服从[0,1]上的均匀分布,Y服从λ=1的指数分布.
求:
(1)X与Y的联合分布函数;
(2)X与Y的联合密度函数;
(3)P{X≥Y}.
由X~U(0,1).
由Y~E(1),
又由X与Y相互独立得:
(1)F(x,y)=F
X(x)F
Y(y)
(2)f(x,y)=f
X(x)f
Y(y)
(3)
[考点] 本题主要考查的知识点是二维随机变量的联合分布、概率密度及其概率运算.
五、应用题(10分)1. 设从正态总体N(μ,9)中抽取容量为n的样本,x
1,x
2,…,x
n,问n不能超过多少,才能在
的条件下,接受H
0:μ=21.5?(α=0.05)
(附:
)
检验假设
H
0:μ=21.5,H
1:μ≠21.5.
可应用u检验法,对α=0.05,
∴接受域为(-1.96.1.96),即|u|≤1.96.
选取检验统计量
为接受H
0,只需
n<(11.76)
2≈138.3.
∴n不应大于138,才能接受H
0.
[考点] 本题主要考查的知识点是假设检验中u检验法的应用.