一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。)1. 若函数f(x)在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),则______
- A.至少存在一点ξ∈(a,b),使f'(ξ)=0
- B.至少存在一点ξ∈(a,b),使f(ξ)=0
- C.只存在一点ξ∈(a,b),使f'(ξ)=0
- D.不一定存在ξ∈(a,b),使f'(ξ)=0
A B C D
D
[考点] 本题主要考查的知识点是罗尔定理的应用.
[解析] 令f(x)=sinx,则f(x)在(0,2π)内可导,且f(0)=f(2π)=0,f'(x)=cosx=0,所以
,排除选项C;令f(x)=x
2+1,在(-2,2)内f(x)可导,且f(-2)=f(2),但不存在ξ∈(-2,2)使得f(ξ)=0,排除选项B;令
显然f(x)在(0,2)上可导,
,
,所以f(x)在x=2处不连续,且有f(2)=0=f(0),满足题设条件,但在(0,2)上f'(x)≡1,不为零,所以在(0,2)上不存在点ξ,使f'(ξ)=0,排除选项A.
2. 下列各选项中,函数相等的是______
A.f(x)=2lnx,g(x)=lnx
2 B.
C.
D.f(x)=-sgn(1-x),
A B C D
D
[考点] 本题主要考查的知识点是函数相等的条件.
[解析] 选项A中,f(x)的定义域为x>0,g(x)的定义域为x≠0;选项B中,f(x)的定义域为x≠0,g(x)的定义域为全体实数;选项C中,f(x),g(x)定义域相同,但
,g(x)=x,对应法则不同;选项D中,
所以f(x),g(x)的定义域和值域都相同.
5. 设f(x)在[a,b]上有连续的导函数,且f(a)=f(b)=0,
,则
=______
A.
B.
C.1
D.0
A B C D
B
[考点] 本题主要考查的知识点是分部积分法的应用。
[解析]
二、填空题1. 设
,则
=______.
1
[考点] 本题主要考查的知识点是导数的应用.
[解析] 由
可知,
,
所以
∴
.
2. 设
,则f(f(x))=______.
[考点] 本题主要考查的知识点是复合函数的运算.
[解析] 因为
,所以
.
3. 设A为m阶方阵,存在非零的m×n矩阵B,使AB=O的充分必要条件是______.
4. 已知(lnf(x))'=2x-1,则f(x)=______.
5.
=______.
6. 不定积分
=______.
arctanex+C
[考点] 本题主要考查的知识点是不定积分的计算.
[解析]
.
7. 设
则k=______时,f(x)在x=0处连续.
2
[考点] 本题主要考查的知识点是函数连续的定义.
[解析] f(x)在x=0处连续,必有
,
,故k=2.
8. 设A、B为三阶方阵,其中
,则AB=______.
[考点] 本题主要考查的知识点是矩阵的简单运算、求解.
[解析]
.
三、计算题1. 设
若
存在,求a、b的值.
解:
,若
存在,则必有
,
又
,
所以
,
即b=a-1.
由a-2=2得a=4,b=4-1=3.
[考点] 本题主要考查的知识点是函数在某点处极限存在的条件.
2. 计算积分:∫x
2e
-2xdx.
解:
[考点] 本题主要考查的知识点是不定积分的计算.
3. 设
求
.
解:令x-1=t,则
[考点] 本题主要考查的知识点是分段函数定积分的运算.
4. 求不定积分
.
解:因为
[考点] 本题主要考查的知识点是不定积分的计算.
5. 设f(x)在[0,+∞)上二阶可导,并且f(0)=0,f"(x)>0.证明
在(0,+∞)内单调增加.
解:因为
令F(x)=xf'(x)-f(x),由题设可知,F(x)在[0,+∞)上可导,并且
F'(x)=f'(x)+xf"(x)-f'(x)
=xf"(x)>0,(x>0),
因此,F(x)在[0,+∞)上单调增加,从而当x>0时,
F(x)>F(0)=0,
因此,当x>0时,
因而g(x)在(0,+∞)内单调增加.
[考点] 本题主要考查的知识点是函数在某区间上的单调性.
6. 证明:双曲线xy=1上任意点处切线与两坐标轴围成三角形面积为定值.
解:
为曲线上任一点.切线斜率
,
切线方程
,
化为截距式
.
[考点] 本题主要考查的知识点是曲线所围成平面图形面积的求解.
7. 求解微分方程:y'+sin(x+y)=sin(x-y).
解:将原方程左端第二项移到右端.然后和差化积得
分离变量得
积分得通解
化简得y=2arctan(Ce
-2sinx).
[考点] 本题主要考查的知识点是微分方程的求解.
四、综合题1. 银幕高为a米,银幕底边高出观众b米,问观众离银幕多远时,才能使观众看图像最清楚,即视角最大?
解:如下图所示,观众眼睛为点A,C点为银幕底边位置,AB为x米,0<α<
,求tanα最大即可.
令y'=0 得
(唯一驻点).
故,当观众离银幕
米时图像看得最清楚.
[考点] 本题主要考查的知识点是函数的一阶导数在实际问题中的应用.
2. 求函数的极值:
.
解:函数的定义域为(-∞,+∞),
列表
所以函数在x=0处有极大值0;在
处有极小值
.
[考点] 本题主要考查的知识点是函数极值的问题.