一、单项选择题在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的,请将其选出。 二、填空题1. 设向量α={4,-2,6},β={1,1,-1},则α+2β=___________.
2. 极限
=___________.
3. 设C:x+y=1(0≤x≤1),则对弧长的曲线积分
=___________.
4. 微分方程y"+9y=18的特解y*=___________.
5. 设函数f(x)是周期为2π的周期函数,f(x)的傅里叶级数为
,则f(x)的傅里叶系数b
1=___________.
三、计算题每小题5分,共60分。1. 已知直线L过点P(-1,-1,2),并且与平面π:2x-y+z=0垂直,求直线L的方程.
∵直线L与平面π垂直
∴方向向量S={2,-1,1}
又直线过点P(-1,-1,2),
则直线L的方程为
2. 设函数z=e
x+ysin(x-2y),求
.
4. 设方程xyz-lnz=0确定函数z=z(x,y),求
.
设F(x,y,z)=xyz-Inz,则
从而
5. 设函数
,求f(x,y)在点(1,2)处的梯度gradf(1,2).
6. 计算二重积分
,其中积分区域D:x
2+y
2≤1.
在极坐标系中,D:0≤ρ≤1,0≤θ≤2π.
7. 计算三重积分
,其中积分区域Ω:0≤x≤2,-2≤y≤2,-1≤z≤1.
积分区域Ω:0≤x≤2,-2≤y≤2,,-l≤z≤1可得:
8. 计算对坐标的曲线积分
,其中C是由点(-1,3)沿直线2x+y=1到点(0,1)的直线段.
∵C:y=1-2x,x从-1变到0,
∴
9. 求微分方程
满足y(0)=1的特解.
分离变量得(1+2y)dy=(1+2x)dx.
两端积分得y+y2=x+x2+c
代人y(0)=1得C=2
则所求特解为y+y2=x2+x+2
10. 求微分方程
的通解.
11. 判断无穷级数
的敛散性.
12. 将函数
展开为x的幂级数,并写出收敛区间.
∵
∴
四、综合题每小题5分,共15分。1. 求函数f(x,y)=7+14x+32y-8xy-2x
2-10y
2的极值.
由
可解得
又
则AC-B
2>0,且A<0,所以函数在
处有极大值
.
2. 求曲线x=t,y=t
2,z=t
3在t=1对应点处的法平面方程.
∵
∴t=1时,T={1,2,3}
又t=1对应点为(1,1,1),则所求法平面方程为
(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0
即x+2y+3z=6
3. 用定义证明无穷级数
收敛,并且收敛于1.
∵
∴
从而
则由定义可知该级数收敛,且收敛于1.