一、单项选择题在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的,请将其选出。 二、填空题1. 点P(-5,-3,2)到oyz坐标面的距离为__________.
2. 函数z=x
2y+y
2在点(2,1)处的全微分dz|
(2,1)=__________.
3. 设积分区域D:x
2+y
2≤a
2(a>0),且二重积分
,,则常数a=__________.
4. 微分方程y”+3y=e
2x的特解y*=__________.
5. 已知无穷级数
,则u
5=__________.
三、计算题每小题5分,共60分。1. 求过点M
1(3,-1,5)及点M
2(-1,2,-3)的直线方程.
∵直线方向向量
∴所求直线方程为
2. 求曲面z=2xy在点
处的切平面方程.
设F(x,y,z)=z-2xy,则F
x=-2y,F
y=-2x,F
x=1
∵法向量n={-2y,-2x,1}|p
o={-2,-1,1}
∴所求切平面方程为
即2x+y-z-1=0
3. 已知方程2x
2-3y
2+5z
2-z=1确定函数z=z(x,y)),求
.
F(x,y,z)=2x
2-3y
2+5z
2-z-1,
∵F
x=4x,F
y=-6y,F
x=10z-1
∴
4. 求函数f(x,y)=2xy
2-3x
2y在点P(1,-1)处沿P(1,-1)到Q(2,0)向的方向导数.
由
,得
∵f
x(1,-1)=(2y
2-6xy)|
(1,-1)=8
f
y(1,-1)=(4xy-3x
2)|
(1,-1)=-7
∴方向导数
5. 计算二重积分
,其中D是由y=x
2,y=x所围成的区域.
6. 计算三重积分
,其中积分区域Ω:|x|≤1,|y|≤1,|z|≤1.
7. 计算对弧长的曲线积分
,其中C为从点A(2,0)到点B(4,0)的直线段.
C的方程y=0(2≤x≤4)
因此
所以
8. 计算对坐标的曲线积分
,其中C是抛物线x=y
2从点O(0,0)到点P(4,2)的一段弧.
C的方程x=y
2,y从0变到2,所以
9. 求微分方程
的通解.
该方程是一阶线性非齐次微分方程,
,
所以通解为
10. 求微分方程y"+y'-30y=0的通解.
特征方程为r2+r-30=0,得特征根r1=5,r2=-6.
所以通解为y=C1e5x+C2e-6x.
11. 判断无穷级数
的敛散性.
12. 已知f(x)是周期为2π的周期函数,它在[-π,π)上的表达式为
,求f(x)傅里叶级数
中系数a
6.
四、综合题每小题5分,共15分。1. 求函数f(x,y)=xy在约束条件x+y=1下的极值.
令f(x,y)=xy=x(1-x)=F(x).
F'(x)=1-2x=0,得
,此时
.
而F"(x)=-2<0,所以F(x)在
取得极大值.
即f(x,y)=xy在
取得极大值,极大值为
2. 证明对坐标的曲线积分
在整个xoy面内与路径无关.
令P(x,y)=4sinxsin3ycosx+20x
Q(x,y)=14y-3cos3ycos2x
∵在整个xoy面内
.
∴
在整个xoy面内与路径无关.
3. 将函数
展开为x的幂级数.