三、计算题每小题5分,共30分。1. 设
为解析函数,求v(x,y).
解法一:因为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析,所以由柯西-黎曼条件有
,
或者dv=(3x
2-3y
2)dx-6xydy.
于是
解法二:由
得
.
再有
,有-3y
2+φ'(x)=3x
2-3y
2,
得φ'(x)=3x
2,故φ(x)=x
3+C,
从而v=-3xy
2+x
3+C.
2. 设C为正向圆周|z-2|=1,求
.
由导数公式,有
3. 设C为正向圆周|z|=2,求
.
4. 将
在圆环域1<|z|<2内展开为洛朗级数.
5. 函数
在以z=1为中心的哪几个圆环域内可展开为洛朗级数?(不要求写出展开式).
f(z)在复平面上有三个奇点
.
1到-1和i的距离分别为2和
,所以f(z)在下列三个圆环域
内可分别展开为洛朗级数.
6. 设C为正向圆周|z|=2,求
.
四、综合题共19分。设.2. 求f(z)e
iaz在这些奇点处的留数:
.
3. 设a>0,计算
.
4. 设D为z平面上的区域0<Imz<π,试求下列保形映射:
(1)w
1>=f
1>(z)把D映射成w
1平面上的上半平面Imw
1>0;
(2)w=f
2>(w
1)把Imw
1>0映射成w平面上的单位圆盘|w|<1;
(3)w=f(z)把z平面上的区域D映射成w平面上的单位圆盘|w|<1.
或
5. 利用拉氏变换解满足初始条件y(0)=0,y'(0)=1的微分方程y
n(t)+y(t)=e
t.
设Y(p)=L[y(t)].
方程两边取拉氏变换
.
由y(0)=0,y’(0)=I得
.
故
.
取拉氏逆变换
.