一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。)1. 设A,B为随机事件,A
B,则
=______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
表示A与B的并集取反,事件B包含事件A,所以
表示事件B取反,为
。故本题选B。
2. 设随机事件A,B相互独立,且P(A)=0.2,P(B)=0.6,
=______。
A B C D
B
[解析]
,
又因为A,B相互独立,所以
相互独立,
所以
。
故本题选B。
3. 设随机变量X服从参数为3的指数分布,则当X>0时,X的概率密度f(x)=______。
- A.1-3e-3x
- B.1-e-3x
- C.3e-3x
- D.e-3x
A B C D
C
[解析] 指数分布的概率密度为
分布函数为
,
,概率密度表达式3e
-3x(X>0)
B中表达式为X的分布函数,故本题选C。
9. 设随机变量X~N(0,1),Y~x
2(5),,且X与Y相互独立,则
______。
- A.t(5)
- B.t(4)
- C.F(1,5)
- D.F(5,1)
A B C D
A
[解析] 正态总体的抽样分布的t分布的定义:
设随机变量X
1与X
2独立,且X
1~N(0,1),X
2~X
2(n),则称
的分布为自由度为n的t分布,记为T~t(n).明显题意属于t分布,且n=5,为t(5),故本题选A。
10. 设总体X~B(1,p),x
1,x
2,...,x
n为来自X的样本,n>1,
为样本均值,则未知参数P的无偏估计
=______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 所以E(X)=p,所以
.故本题选C。
二、填空题1. 已知随机事件A,B互不相容,P(B)>0,则
=________。
1
[解析] 因为A,B互不相容,所以B发生A一定不发生,所以
所求概率为1。
2. 设随机事件A
1,A
2,A
3是样本空间的一个划分,且P(A
2)=0.5,P(A
3)=0.3,则P(A
1)=________。
0.2
[解析] 因为是一个划分,则概率和为1,所以P(A1)=1-P(A2)-P(A3)=0.2。
3. 设A,B为随机事件,P(A)=0.8,
=0.6,则P(B∣A)=________。
0.25
[解析] P(AB)=P(A)-
=0.2,
。
4. 掷两颗质地均匀的骰子,则出现点数之和等于4的概率为________。
1/12
[解析] 基本事件总数为6×6=36,该事件占3件,故概率P=3/36=1/12。
5. 设随机变量X~B(3,O.4),令Y=X
2,则P{Y=9}=________。
0.064
[解析] P(Y=9)=P(X=3)=0.43=0.064。
6. 设随机变量X的分布函数为
,记X的概率密度为f(x),则当0<x<1,f(x)=______。
7. 设随机变量X的概率密度
其中常数a未知,则P{-1<x<1}=_______。
[解析] 因为是均匀分布,
所以P{-1<x<1}=
。
8. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
,则常数c=________。
[解析] 根据其性质有:
。
9. 设随机变量X服从参数为3的泊松分布,则D(-2X)=________。
12
[解析] 随机变量服从泊松分布,故D(X)=λ=3,3D(-2X)=4D(X)=4×3=12。
10. 设随机变量X的分布律为
,则E(X
2)=_________。
7.2
[解析] E(X2)=1×0.1+4×0.2+9×0.7=7.2。
11. 设随机变量X,Y相互独立,且分别服从参数为2,3的指数分布,则D(X-Y)=_________。
12. 设x
1,x
2,...,x
n独立同分布,且E(X
i)=μ,D(X
i)=σ
2,i=1,2,...,则对任意ε>0,都有
=_________。
1
[解析] 独立同分布随机变量序列的切比雪夫大数定律概念:
设x
1,x
2,...,x
n,...是独立同分布的随机变量序列,并且数学期望和方差均存在E(X
i)=μ,D(X
i)=σ
2,i=1,2,...,则对任意给定的正数ε,有
=1
所以该空为1。
13. 设总体X~N(μ,4
2),x
1,x
2,...,x
n为来自X的样本,则
=_________。
16
[解析]
14. 设θ为总体的未知参数,
是由样本x
1,x
2,...,x
n确定的两个统计量,使得
,则θ的置信度为0.95的置信区间是_________。
[解析] 置信区间的定义,位于置信度的置信区间为
。
15. 设总体X的概率密度为
其中θ为未知参数x
1,x
2,...,x
n为来自X的样本,则θ的矩估计
=_________。
三、计算题(每小题8分,共16分)1. 设商店有商品10件,其中一等品8件,二等品2件,售出2件后,从剩下的8件中任取一件,求取得一等品的概率。
设事件A
i表示“售出的2件商品中有i件一等品”,i=0,1,2,B表示“取出的一件为一等品”,则
P(B)=P(A
0)P(B|A
0)+P(A
i)P(B|A
1)+P(A
2)P(B|A
2)
2. 设随机变量X服从参数为1的指数分布,Y=3X+1,求Y的概率密度f
Y(y)。
X的概率密皮为
由y=g(x)=3x+1,则
,
故
。
五、应用题(10分)1. 某水泥厂用自动包装机包装水泥,每袋水泥重量服从正态分布.当包装机正常工作时,每袋水泥的平均重量为50kg。当日开工后随机抽取9袋,测得样本均值
=49.9kg,样本标准差s=0.3kg.问当日水泥包装机工作是否正常?(显著性水平α=0.05)(t
0.025(8)=2.306)
由题意,检验假设H
0:μ=50;H
1:μ≠50,
当H
0成立时,统计量
。
给定显著性水平α=0.05时,拒绝域为|t|>t
0.025(8),
己知n=9,μ
0=50,
=49.9,s=0.3,t
0.025(8)=2.306,
计算可得
,
故接受H
0,即认为水泥包装机工作正常。