一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。)1. 有10部手机,其中8部是同型号甲手机,2部是同型号乙手机,从中任取3部,恰好取到一部乙手机的概率是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析]
。故本题选D。
6. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
则常数c=______。
A.
B.
C.3
D.4
A B C D
A
[解析]
,
所以c=
。故本题选A。
7. 设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布律为
,则E(XY)=______。
A.0
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析]
,
因为X,Y独立同分布,
所以E(XY)=E(X)E(Y)=E(X)E(X)=
。
故本题选D。
8. 设随机变量X
1,X
2,...,X
n...独立同分布,且X
i的分布律
,i=1,2,...,Φ(x)为标准正态分布函数,则
______。
A B C D
C
[解析] 由独立同分布序列的中心极限定理即得:
中心极限定理:设随机变量Y
n,n=1,2,...服从以n,p为参数的二项分布,且0<p<1,则对任意实数x,有
。
该项表达式符合中心极限定理,且x=1,则该极限为Φ(1)。故本题选C。
9. 设总体X,Y独立同分布,且X~N(0,1),
分别为来自X,Y的样本的样本均值,样本容量分别为m,n(m,n>1),则下列结论正确的是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 由样本均值的定理得
,
所以
服从正态分布,又因为
,
,所以
。
故本题选B。
10. 设总体X~N(μ,σ
2),x
1,x
2,..,x
n(n>1)为来自X的样本,
为样本均值,s
2为样本方差,则下列结论成立的是______。
A.
为μ的无偏估计
B.(n-1)s
2为σ
2的无偏估计
C.
为μ的无偏估计
D.s为σ的无偏估计
A B C D
A
[解析] 因为对任一总体而言,样本均值是总体均值的无偏估计,即
为μ的无偏估计。故本题选A。
二、填空题1. 设A,B为相互独立的随机事件,P(A)=0.3,P(B)=0.4,则
______。
0.18
[解析] P(
)=1-P(B)=0.6,
又因为A,B为相互独立的随机事件,
所以P(A
)=P(A)P(
)=0.18。
2. 设A,B为随机事件,且P(A)=0.5,P(A-B)=0.2,则
______。
0.7
[解析] P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.3,
所以P(
)==1-P(AB)=0.7。
3. 设随机变量X~N(3,4
2),Y=2X+1,则Y~______。
N(7,64)
[解析] 因为Y是正态变量的线性组合,所以Y服从正态分布;因为
E(Y)=2E(X)+1=7,D(Y)=4D(X)=64,所以Y~N(7,64)。
4. 设随机变量X的分布律为
,则P{X
2=9}=______。
[解析] P{X
2=9}=P{E=-3}+P{E=3}=
。
5. 设随机变量X的概率密度为
则P{2X>1}=______。
[解析]
。
6. 设随机变量X在区间[1,6]上服从均匀分布,则方程t
2+Xt+1=0有实根的概率是______。
[解析] 显然随机变量X满足方程有实根的区间为[2,6],所以总体大小为6-1=5,样本大小为6-2=4,服从均与分布的概率P=
。
7. 设随机变量X,Y独立同分布,且
,则P{X+Y=2}=______。
[解析]
。
8. 设二维随机变量(X,Y)的分布律为
则P{X+Y≤2}=______。
0.9
[解析] P{X+Y≤2}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.9。
9. 设随机变量X,Y相互独立,且
,Y服从参数为4的泊松分布,则D(X-Y)=______。
8
[解析]
。
10. 设随机变量X的概率密度为
则E(|X|)=______。
[解析]
。
11. 设随机变量X,Y满足E(X)=2,E(Y)=2,E(XY)=4,则Cov(2X,Y)=______。
0
[解析] Cov(2X,Y)=2(E(XY)-E(X)X(Y))=0。
12. 系统由100个独立起作用的部件组成,已知各个部件正常工作的概率均为0.9,而系统稳定运行必须超过84个部件正常工作,则有中心极限定理可得,整个系统稳定运行的概率为______。(Φ(2)=0.9772)
0.9772
[解析]
设正常运行的部件数为X,
则
服从正态分布,
所以
。(Φ(2)=0.9772)
13. 设x
1,x
2,...,x
n为来自总体X的样本,
为样本均值,X在区间[0,θ]上服从均匀分布,θ>0,则未知参数θ的矩
______。
[解析] 因为
,所以θ=2E(X),
所以
。
14. 设x
1,x
2,...,x
36为来自总体X的样本,X~N(μ,1),已知样本均值
,则μ的置信度为0.90的置信区间为______。(μ
0.05=1.645)
[2.726,3.274]
[解析] 置信区间为
。
15. 设总体,X~N(μ,4
2),x
1,x
2,...,x
n为来自X的样本,样本方差为s
2,则E(s
2)______。
五、应用题(10分)1. 某厂生产一种元件,其直径X(单位:cm)服从正态分布N(3,0.1
2),现改换一种新工艺生产该元件,从新工艺生产的元件中随机抽取25个,测得样本均值
,试判断用新工艺后,元件的直径是否较以前有显著变化。(α=0.05,u
0.025=1.96)
检验假设H
0:μ=3;H
1:μ≠3,
当H
0成立时,统计量
,
计算可得μ=7.5>u
0.025,
所以对于给定显著水平α=0.05,拒绝H
0;
即新工艺生产的元件的直径较以前有显著变化。