一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。)1. 某射手向一目标射击两次,事件A
i表示“第i次射击命中目标”,i=1,2,事件B表示“仅第二次射击命中目标”,则B=______。
A.A
1A
2 B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 事件B等价于的是第一次没射中,第二次射中。故本题选C。
4. 已知随机变量X服从参数为λ的指数分布,λ﹥0,则当x﹥0时X的分布函数F(x)=______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 参数为λ的指数分布的分布函数在x>0为
。故本题选B。
8. 设x
1,x
2,…,x
n(n>1)为来自正态总体N((μ
0,σ
2))的样本,其中μ
0已知,则σ
2的无偏估计量为______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 根据无偏估计量的概念可知正态分布中的D(X)=σ2,可知方差S2就是σ2的无偏估计,C即方差的表达式。故本题选C。
9. 设x
1,x
2,…,x
n(n﹥1)为来自正态总体N(μ,1)的样本,
为样本均值,若检验假设H
0:μ=μ
0,H
i:μ≠μ
0,则采用的检验统计量应为______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 根据已知条件可知该题采取的应该为u检验(方差已知)检验统计量U=
,知假设检验中
,则检验统计量U=
。
故本题选A。
二、填空题1. 设随机事件A与B互不相容,且P(A)=0.2,P(A∪B)=0.3,则
=________。
0.9
[解析] 已知A与B互不相容,得P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3,推出P(B)=0.1,则
=0.9。
2. 某专科医院只接待K型患者和M型患者,他们的比例为6:4,对应治愈率分别为0.8、0.9,则患者治愈的概率为________。
0.84
[解析] P{患者治愈的概率}=0.8×(6/10)+0.9×(4/10)=0.84。
3. 设随机变量X~B(2,P),且P{X=0}=0.09,则P=________。
0.7
[解析] 根据二项分布可得P{X=0}=
=0.09,解得p=0.7。
4. 设随机变量X的概率密度为
则P{X>1}=________。
[解析] 根据概率密度的性质得:P{X>1}=
。
5. 设随机变量X~N(2,1),为使X+C~N(0,1),则常数C=________。
-2
[解析] 已知正态分布关于x=μ对称,要使X+c能满足标准正态分布,只需基础上向左平移距离2,故常数C=-2。
6. 设二维随机变量(X,Y)分布律为
则P{X≤2,Y<3}=________。
0.6
[解析] P{X≤2,Y<3}=0.1+0.1+0.2+0.2=0.6。
7. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
则当0<x<2时X的概率密度f
x(x)=________。
1/2
[解析] 通过二维随机变量的边缘概率密度性质算得
。
8. 设随机变量X与Y独立同分布,且X服从标准正态分布,令Z=X+Y,则Z的概率密度f
z(z)=________。
[解析] 根据题干可知
,
又因为随机变量X与Y独立同分布,且X服从标准正态分布可知Z(0,2),通过正态分布的概率密度公式可得
,代入得则Z的概率密度
。
9. 设随机变量X服从区间[-1,1]上的均匀分布,则E(X
2)=________。
1/3
[解析] 已知E(X
2)=D(X)+[E(X)]
2均匀分布中数学期望和方差分别为
则
。
10. 设随机变量X的分布律为
,a,b为常数,且a-b=0.2,则D(X)=________。
8
[解析] 根据分布律其性质可得a+b+0.4=1得a+b=0.6,且a-b=0.2,两式联立,经计算可得a=0.4,b=0.2,
E(X)=0,D(X)=
。
11. 设随机变量X与Y的相关系数为0.6,且D(X)=D(Y)=10,则Cov(X,Y)=________。
6
[解析] 将相关系数公式变形得
=0.6×10=6。
12. 设随机变量X~B(100,0.5),应用中心极限定理可算得P{50<X<60}=________。(附:Φ(2)=0.9772)
4772
[解析] 根据中心极限定理在随机变量上二项分布求出E(x)=50,D(x)=25,
则有随机变量
近似服从标准正态分布,故有P{50<X<60}=
=Φ(2)-Φ(0)=0.9772-0.5=0.4772。
13. 设随机变量X服从参数为0.5的指数分布,则由切比雪夫不等式估计概率P{|X-2|≧4}≦________。
[解析] 切比雪夫不等式
又因为随机变量X服从参数为0.5的指数分布可知
结合表达式可知
。
14. 设x
1,x
2,…x
n为来自总体X的样本,X服从参数为λ的泊松分布,λ未知,若
为λ的无偏估计,则常数c=________。
[解析] 根据样本均值是总体数学期望的无偏估计,已知E(X)=λ,样本均值为
则可得常数
。
15. 设总体X服从区间
上的均匀分布,其中θ为未知参数,x
1,x
2,…,x
n是来自该总体的样本,
为样本均值,则θ的矩估计
=________。
[解析] 总体X服从均匀分布上的
用样本均值代替数学期望得
。
三、计算题(每小题8分,共16分)1. 某厂生产的钢琴有70%可以直接出厂,剩下的钢琴经调试后,其中80%可以出厂,20%被认定为不合格不能出厂,现该厂生产了n(n≧2)架钢琴,假定各架钢琴的质量是相互独立的,试求:
(1)任意一架钢琴出厂的概率P
1;
(2)恰有两家钢琴不能出厂的概率P
2。
设事件C表示“钢琴出厂”,A表示“钢琴直接出厂”,B表示“钢琴经调
试后出厂”
(1)
(2)
已知连续型随机变量X的分布函数为
求:2. 常数a;
;
3. P{0.3<X≤2};
P{0.3<X≤2}=F(2)-F(0.3)=1-(0.3)2=0.91;
五、应用题(10分)1. 某商场每百元投资的利润X(单位:元)服从正态分布N(μ,0.04),现随机抽取9周的利润,并计算得平均利润为0.2,试求μ的置信度为0.95的置信区间,为使μ的置信度为0.95的置信区间长度不超过0.2,则至少应随机抽取多少周的利润才能达到?(附:μ
0.025=1.96)
因为μ的置信度为1-α的置信区间为
,
由题设知
,
所以μ的置信度为0.95的置信区间为[0.069,0.331],
当
,n未定时,
置信区间长度为
,由
≤0.2,则n≥15.366,
故至少应随机抽取16周的利润才能达到。