一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的.)4. 设2阶矩阵A满足|2E+3A|=0,|E-A|=0,则|A|=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 由于|2E+3A|=
,|E-A|=0,故
,1为矩阵A的特征向量,故|A|=
二、填空题1. 已知行列式
,其代数余子式为A
ij(i,j=1,2,3),则A
11+A
21+A
31=______.
0
[解析]
2. 行列式
=______.
a1a2a3a4
[解析]
3. 设A是3阶矩阵,r(A)=1,
,则r(AB)=______.
4. 已知矩阵
,则A
-1=______.
5. 设向量组α
1=(1,1,α)
T,α
2=(1,a,1)
T,α
3=(a,1,1)
T,α
4=(1,1,1)
T的秩为3,则数a的取值应满足______.
a≠1
[解析]
,由于向量组的秩为3,故有a≠1.
6. 设向量α
1=(1,1,1)
T,α
2=(1,2,-1)
T,(α
1,α
2)表示α
1与α
2的内积,则
=______.
[解析]
7. 设A为3×4矩阵,r(A)=3,若η
1,η
2为非齐次线性方程组Ax=β的解且η
1≠η
2,则其导出组Ax=0的通解为x=______.
8. 若线性方程组
无解,则数a=______.
-4
[解析] 令方程组的增广矩阵
,非齐次线性方程组无解,故
,因此-2a-8=0,即a=-4.
9. 设2阶矩阵A与B相似,若A的特征值为-3和2,则|B
2|=______.
36
[解析] 矩阵A与B相似,故B的特征值为-3,2,则B2的特征值为9,4,因此|B2|=9×4= 36.
10. 二次型
经可逆线性变换
比为______.
三、计算题(每小题9分,共63分)1. 计算行列式
的值.
解:
3. 已知矩阵
,求A
-1.
4. 求向量组α
1=(1,-1,2,1)
T,α
2=(1,0,2,2)
T,α
3=(0,2,1,1)
T,α
4=(1,0,3,1)
T,α
5=(-1,5,-1,2)
T的秩和一个极大线性无关组,并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.
解:由
可知该向量组的秩为3,α
1,α
2,α
3为一个极大线性无关组,并且有α
4=2α
1-α
2+α
3,α
5=-3α
1+2α
2+α
3.(答案不唯一)
5. 设4元非齐次线性方程组Ax=β的增广矩阵经初等行变换化为
讨论a,c为何值时方程组有无穷多解并求出其通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).
解:由方程组的增广矩阵
,可知
(1)当c=-1,a=2时,r(A)=r(A,β)=2<4,方程组有无穷多解,
此时,由
得同解方程组
通解为(0,0,1,0)
T+k
1(1,1,2,0)
T+k
2(-1,0,3,1)
T,k
1,k
2为任意常数.
(2)当c≠-1,a=2时,r(A)=r(A,β)=3<4,方程组有无穷多解
此时,由
得同解方程组
通解为(0,0,1,0)
T+k
3(1,1,2,0)
T,k
3为任意常数.
(3)当c=-1,a≠2时,r(A)=r(A,β)=3<4,方程组有无穷多解,
此时,由
得同解方程组
通解为
,k
4为任意常数.
6. 设矩阵
,试判定A是否可对角化,并说明理由.
解:由
得到A的特征值为λ
1=λ
2=-1,λ
3=4,
对于λ
1=λ
2=-1,求解齐次线性方程组(-E-A)x=0,
由
得基础解系α
1=(1,1,1)
T(或r(-E-A)=2≠1),
即A的2重特征值λ
1=λ
2=-1只有1个线性无关的特征向量,
因此A不可对角化.
7. 用正交线性变换化二次型
为标准形,并写出所作的正交线性变换.
解:二次型的矩阵
由
得到A的特征值为λ
1=2,λ
2=-1,
对于λ
1=2,齐次线性方程组(2E-A)x=0的基础解系为α
1=(1,-1)
T,
将其单位化,得
对于λ
2=-1,齐次线性方程组(-E-A)x=0的基础解系为α
2=(1,1)
T,
将其单位化,得
令
,则Q为正交矩阵,
从而经正交线性变换x=Qy,将二次型化为标准形