一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的.)5. 设2阶矩阵A满足|2E+3A|=0,|E-A|=0,则|A+E|=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 由题知|2E+3A|=
=0,|E-A|=0,所以矩阵A的特征向量为
,1,A+E的特征向量为
,2,故
二、填空题1. 设3阶行列式
,其代数余子式为A
ij(i,j=1,2,3),则A
11-A
21+2A
31=______.
18
[解析]
2. 设矩阵
,则行列式|AB|=______.
3. 已知n阶矩阵A满足A
2-A-E=0,则A
-1=______.(用矩阵A表示.)
4. 设A为2阶矩阵,若存在矩阵
,使得
,则A=______.
[解析] 易知
5. 设向量组α
1=(1,0,0)
T,α
2=(0,2,4)
T,α
3=(-1,3,t)
T线性无关,则数t的取值应满足______.
t≠6
[解析] α
1,α
2,α
3线性无关,则
,解得t≠6.
6. 设
,若3阶非零矩阵B满足AB=0,则数t=______.
6
[解析] 若3阶非零矩阵B满足AB=0,即线性方程组Ax=0有非零解,则
解得t=6.
7. 设4元非齐次线性方程组Ax=β的增广矩阵经初等行变换化为
若该方程组有无穷多解且其导出组的基础解系有1个向量,则数a,c的取值应分别满足______.
a≠1,c=0
[解析] 若非齐次线性方程组有无穷多解且其导出组的基础解系有1个向量,则有r(A)=r(A,β)=3,故有a≠1,c=0.
8. 设3阶矩阵A有特征值为2,则矩阵(A
2)
-1必有一个特征值为______.
9. 已知
是其一个特征向量,则α对应的特征值为______.
1
[解析]
,故α对应的特征值为1.
10. 二次型
经可逆线性变换
化为______.
三、计算题(每小题9分,共63分)1. 设α
1,α
2,α
3为2维列向量,令A=(α
1,α
3),B=(2α
2,3α
3),且已知
,|B|=-3,求行列式|A-B|的值.
解:由于A=(α
1,α
3),B=(2α
2,3α
3),且已知
,|B|=-3,
故|A-B|=|α
1-2α
2,-2α
3|=|α
1,-2α
3|+|-2α
2,-2α
3|
已知矩阵,求2. 矩阵X,使得A+2X=B.
解:
3. AX
T.
解:
4. 设3阶矩阵A和B满足关系式A+B=AB,其中
,求矩阵A.
解:将原式化为A(B-E)=B,其中
可逆,且
5. 求向量组α
1=(1,4,1,0)
T,α
2=(2,1,-1,-3)
T,α
3=(1,0,-3,-1)
T,α
4=(0,2,-6,3)
T的秩和一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表出.
解:由
因此向量组的秩为3,一个极大无关组是α
1,α
2,α
3.
α
4=α
1-2α
2+3α
3.
(答案不唯一)
6. 确定数k的值,使线性方程组
有无穷多解,并求出其通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).
解:对方程组的增广矩阵作初等行变换
因此,当k+1=0时,即k=-1时,该方程组有无穷多解,
此时,同解方程组为
由此得非齐次线方程组的特解
导出组的一个基础解系ξ=(1,0,1)
T,
从而,非齐次线性方程组的通解为η+cξ,其中c是任意常数.
已知矩阵的特征值为λ1=λ2=3,λ3=0.7. 求数a与b的值.
解:由tr(A)=λ1+λ2+λ3得1+a+3=3+3+0,a=2,
由|A|=0,得6+6b=0,b=-1.
8. A是否可以相似对角化?若可以,求可逆矩阵P及对角矩阵
,使得P
-1AP=
.
解:当λ
1=λ
2=3时,解齐次线性方程组(3E-A)x=0,因r(3E-A)=1,
从而该齐次线性方程组有2个线性无关解,
故A可以相似对角化,
分别求出λ
1=λ
2=3对应的特征向量,
ξ
1=(-1,2,0)
T,ξ
2=(0,0,1)
T,
λ
3=0对应的特征向量ξ
3=(1,1,0)
T.
令
则有P
-1AP=
.
9. 求正交变换x=Py,将二次型
化为标准形
解:二次型的矩阵
由条件知A的特征值为λ
1=-1,λ
2=2,λ
3=5.
当λ
1=-1时,齐次线性方程组(-E-A)x=0的基础解系ξ
1=(2,2,1)
T,
单位化得
当λ
2=2时,齐次线性方程组(2E-A)x=0的基础解系ξ
2=(-2,1,2)
T,
单位化得
当λ
3=5时,齐次线性方程组(5E-A)x=0的基础解系ξ
3=(1,-2,2)
T,
单位化得
令
,则P为正交矩阵,
所求正交变换为x=Py.
四、证明题本题7分1. 设A是2阶矩阵,已知|A|<0,证明A一定可相似对角化.
证:设A的特征值为λ1,λ2,故|A|=λ1λ2,
由|A|<0得λ1λ2<0,从而λ1,λ2均不为0且异号,
即λ1≠λ2,所以A一定可相似对角化.