一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的.)2. 设n阶矩阵A可逆,则(2A)
*=______
A.2A
-1 B.2
n-1|A|A
-1 C.2
n-1|A|
-1A
-1 D.
A B C D
B
[解析] (2A)*=|2A|(2A)-1=2n|A|·2-1A-1=2n-1|A|A-1.
二、填空题1. 行列式
=______.
2400
[解析]
2. 设3阶矩阵A,B满足|A|=3,
,则|2AB
-1|=______.
36
[解析]
3. 设向量α=(1,2,3,4)
T,则α
Tα=______.
4. 设矩阵
,则PAP=______.
5. 设矩阵
,则A
-1=______.
6. 设矩阵
的秩为2,则常数a=______.
-2
[解析]
,由于矩阵的秩为2,故有a-1≠0,2-a-a
2=0,解得a=-2.
7. 设向量组α
1=(1,1,1)
T,α
2=(1,2,2)
T,α
3=(2,3,a)
T线性相关,则数a=______.
3
[解析] 由于向量组线性相关,故有
,解得a=3.
8. 设3阶矩阵A的各行元素之和均为0,r(A)=2,齐次线性方程组Ax=0通解为______.
k(1,1,1)T,k为任意常数
[解析] 由于3阶矩阵A的各行元素之和均为0,故有
,而方程组Ax=0的基础解系中有3-r(A)=3-2=1个向量,故方程组Ax=0的通解为k(1,1,1)
T,k为任意常数.
9. 设3阶矩阵A的特征值为-1,0,2,则|A|=______.
10. 二次型
正定,则t的取值范围为______.
[解析] 二次型的矩阵为
,由于二次型正定,故矩阵的各阶顺序主子式均大于0,因此有
,解得
三、计算题(每小题9分,共63分)1. 计算4阶行列式
解:
已知向量α=(2,0,1)T,求2. A=αα
T;
解:
3. A
2019.
解:αTα=5,
A2019=(ααT)(ααT)…(ααT)
=α(αTα)(αTα)…(αTα)αT=52018A.
4. 已知矩阵
,矩阵X满足关系式2X=XA-B,求X.
解:由2X=XA-B可得X(A-2E)=B.
|A-2E|=1≠0,故A-2E可逆.
从而X=B(A-2E)
-1,
故
5. 求向量组α
1=(1,2,-1,-2)
T,α
2=(2,5,-3,-3)
T,α
3=(-1,-1,1,2)
T,α
4=(6,17,-9,-9)
T的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用所求的极大线性无关组表出.
解:对矩阵A=(α
1,α
2,α
3,α
4)进行初等行变换,
所以向量组的秩为3,
α
1,α
2,α
3为一个极大线性无关组,
α
4=2α
1+3α
2+2α
3.
(答案不唯一)
6. 设线性方程组
当a为何值时,方程组无解?有无穷多解?在有无穷多解时求出其通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).
解:对增广矩阵做初等行变换
(1)当a≠1时,r(A)=2,r(A,β)=3,r(A)≠r(A,β),方程组无解.
(2)当a=1时,r(A)=r(A,β)=2,方程组有无穷多解,
故非齐次线性方程组的通解为
,k
1,k
2为任意常数.
7. 求矩阵
的特征值与特征向量.
解:由|λE-A|=(λ+2)
2(λ-7)=0,
得A的特征值为λ
1=λ
2=-2,λ
3=7,
当λ
1=λ
2=-2时,解齐次线性方程组(-2E-A)x=0,
得基础解系α
1=(1,1,0)
T,α
2=(1,0,2)
T,
对应的全部特征向量k
1α
1+k
2α
2,k
1,k
2是不全为零的任意常数;
当λ
3=7时,解齐次线性方程组(7E-A)x=0,
,得基础解系α
3=(-2,2,1)
T,
对应的全部特征向量k
3α
3,k
3为非零任意常数.
8. 已知二次型
经正交变换x=Qy化为标准形
,求正交矩阵Q.
解:二次型矩阵
,由题设知,
特征值为λ
1=5,λ
2=λ
3=-1.
当λ
1=5时,对应的特征向量
,单位化得
当λ
2=λ
3=-1时,对应的线性无关的特征向量
正交化、单位化得
所求正交矩阵为